高中数学基本不等式训练题(含答案)
<p>1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()</p><p>A．有最大值－2 B．有最小值2</p><p>C．无最大值和最小值 D．无法确定</p><p>答案：B</p><p>2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()</p><p>A．400 B．100</p><p>C．40 D．20</p><p>答案：A</p><p>3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．</p><p>答案：24</p><p>4．已知f(x)＝12x＋4x.</p><p>(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；</p><p>(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．</p><p>解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.</p><p>12x＋4x212x4x＝83.</p><p>当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，</p><p>当x＞0时，f(x)的最小值为83.</p><p>(2)∵x＜0，－x＞0.</p><p>则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，</p><p>当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．</p><p>当x＜0时，f(x)的最大值为－83.</p><p>一、选择题</p><p>1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()</p><p>A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1</p><p>C．2x＋2－x D．x(1－x)</p><p>答案：C</p><p>2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()</p><p>A．32－3 B．－3</p><p>C．62 D．62－3</p><p>解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.</p><p>3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()</p><p>A．200 B．100</p><p>C．50 D．20</p><p>解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．</p><p>4．给出下面四个推导过程：</p><p>①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；</p><p>②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；</p><p>③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；</p><p>④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy－yx＝－2.</p><p>其中正确的推导过程为()</p><p>A．①② B．②③</p><p>C．③④ D．①④</p><p>解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．</p><p>①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；</p><p>②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；</p><p>③∵aR，不符合基本不等式的条件，</p><p>4a＋a24aa＝4是错误的；</p><p>④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．</p><p>5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()</p><p>A．2 B．22</p><p>C．4 D．5</p><p>解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.</p><p>6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()</p><p>A．最大值64 B．最大值164</p><p>C．最小值64 D．最小值164</p><p>解析：选C.∵x、y均为正数，</p><p>xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，</p><p>当且仅当8x＝2y时等号成立．</p><p>xy64.</p><p>二、填空题</p><p>7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．</p><p>答案：1</p><p>8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．</p><p>解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.</p><p>答案：大116</p><p>9．(2023年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．</p><p>解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.</p><p>当且仅当x3＝y4时取等号．</p><p>答案：3</p><p>三、解答题</p><p>10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；</p><p>(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．</p><p>解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.</p><p>y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5</p><p>2 x＋14x＋1＋5＝9，</p><p>当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．</p><p>x＝1时，函数的最小值是9.</p><p>(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1</p><p>＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.</p><p>(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.</p><p>当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，</p><p>y有最小值8.</p><p>11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.</p><p>证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，</p><p>1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，</p><p>同理1b－12acb，1c－12abc，</p><p>以上三个不等式两边分别相乘得</p><p>(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.</p><p>当且仅当a＝b＝c时取等号．</p><p>12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．</p><p>问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．</p><p>解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．</p><p>总造价f(x)＝400(2x＋2023x)＋202300x＋20230</p><p>＝800(x＋225x)＋20230</p><p>2023x225x＋20230</p><p>＝20230(元)</p><p>当且仅当x＝225x(x＞0)，</p><p>即x＝15时等号成立．</p>
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