解析几何中求参数取值范围的方法
<p>近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：</p><p>一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式</p><p>曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.</p><p>例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)</p><p>求证:-a2-b2aa2-b2a</p><p>分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.</p><p>解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1</p><p>又∵线段AB的垂直平分线方程为</p><p>y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )</p><p>令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2</p><p>又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点</p><p>-aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a</p><p>-a2-b2aa2-b2a</p><p>例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围.</p><p>分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.</p><p>解: 依题意有</p><p>tan=2S</p><p>∵12 2 1 tan4</p><p>又∵0</p><p>4</p><p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是 ( )</p><p>A a0 B a2 C 02 D 0 p</p><p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a| 求解.</p><p>解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a</p><p>得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0</p><p>∵y020 (y02+16-8a) 0即a2+ y028 恒成立</p><p>又∵ y020</p><p>而 2+ y028 最小值为2 a2 选( B )</p><p>二、利用判别式构造不等式</p><p>在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.</p><p>例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )</p><p>A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]</p><p>分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△0</p><p>解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)</p><p>由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0</p><p>∵直线L与抛物线有公共点</p><p>△0 即k21 解得-11 故选 (C)</p><p>例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.</p><p>分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.</p><p>解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0</p><p>∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则</p><p>解得 -2 p</p><p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式</p><p>曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)若P在曲线外，则f(x0,y0)可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.</p><p>例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.</p><p>分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.</p><p>解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。</p><p>当A、B同时在椭圆内，则</p><p>解得a 17</p><p>当A、B同时在椭圆外，则</p><p>解得0 p</p><p>综上所述，解得06 或a17</p><p>例7若抛物线y2=4mx (m0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.</p><p>分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.</p><p>解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，</p><p>(m-2m)2+(0-1)24 即m23</p><p>又∵m0</p><p>-3 0或0 p</p><p>四、利用三角函数的有界性构造不等式</p><p>曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。</p><p>例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,</p><p>求实数a的取值范围.</p><p>分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.</p><p>解：设椭圆的参数方程为 (为参数)</p><p>代入x2=2y 得</p><p>4cos2= 2(a+sin)</p><p>a = 2cos2-sin=-2(sin+ 14 )2+ 178</p><p>又∵-1sin1，-2023</p><p>例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c0恒成立，求实数c的取值范围</p><p>分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.</p><p>解：∵点P在圆上，m = cos,n = 1+sin(为参数)</p><p>∵m+n = cos+1+sin = 2 sin(4 )+1</p><p>m+n最小值为1-2 ，</p><p>-(m+n)最大值为2 -1</p><p>又∵要使得不等式c-(m+n) 恒成立</p><p>c2 -1</p><p>五、利用离心率构造不等式</p><p>我们知道，椭圆离心率e(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.</p><p>例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.</p><p>分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率01,建立相关不等式关系求解.</p><p>解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32</p><p>设椭圆中心为(m,0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c</p><p>两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2</p><p>∵01，01,解得m2，</p><p>又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，</p><p>0 = km+3 ,即m = - 3k ,</p><p>- 3k 2，解得-32p</p><p>上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。</p>
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