初中数学《立方根》教案
<p>课 题：2.3 立方根</p><p>●教学目标</p><p>(一)教学知识点</p><p>1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.</p><p>2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.</p><p>3.了解立方根的性质.</p><p>4.区分立方根与平方根的不同.</p><p>(二)能力训练要求</p><p>1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.</p><p>2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.</p><p>(三)情感与价值观要求</p><p>当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.</p><p>●教学重点</p><p>立方根的概念.</p><p>●教学难点</p><p>1.正确理解立方根的概念.</p><p>2.会求一个数的立方根.</p><p>3.区分立方根与平方根的不同之处.</p><p>●教学方法</p><p>类比学习法.</p><p>●教具准备</p><p>投影片两张：</p><p>第一张：平方根与立方根的联系与区别(记作2.3 A)；</p><p>第二张：补充练习(记作2.3 B).</p><p>●教学过程</p><p>Ⅰ.新课导入</p><p>上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x= .</p><p>若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？</p><p>Ⅱ.新课讲解</p><p>1.［师］请大家先回忆平方根的定义.</p><p>［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.</p><p>［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.</p><p>［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.</p><p>［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？</p><p>［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.</p><p>［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？</p><p>［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x= ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x= ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.</p><p>［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.</p><p>［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x= ，x3=a时，x= 也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？</p><p>［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是2，所以立方根的个数不正确.</p><p>［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.</p><p>开立方的定义</p><p>［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.</p><p>［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.</p><p>(2)立方根的性质</p><p>［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？</p><p>［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.</p><p>［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？</p><p>［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.</p><p>［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？</p><p>［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.</p><p>［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？</p><p>［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.</p><p>［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.</p><p>(3)平方根与立方根的区别与联系.</p><p>［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.</p><p>［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.</p><p>［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.</p><p>［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为 ，立方根表示为 .</p><p>［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.</p><p>投影片：(2.3 A)</p><p>平方根与立方根的联系与区别.</p><p>联系：</p><p>(1)0的平方根、立方根都有一个是0.</p><p>(2)平方根、立方根都是开方的结果.</p><p>区别：</p><p>(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”</p><p>(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.</p><p>(3)表示法不同</p><p>正数a的平方根表示为 ，a的立方根表示为 .</p><p>(4)被开方数的取值范围不同</p><p>中的被开方数a是非负数； 中的被开方数可以是任何数.</p><p>2.例题讲解</p><p>［例1］求下列各数的立方根：</p><p>(1)－27；(2) ；(3)0.216；(4)－5.</p><p>解：(1)因为(－3)3=－27，所以－27的立方根是－3，即 =－3；</p><p>(2)因为( )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ；</p><p>(3)因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6；</p><p>(4)－5的立方根是 .</p><p>［师］请大家思考下列问题.</p><p>表示a的立方根，则( )3等于什么？ 等于什么？</p><p>大家可以先举例后找规律.</p><p>［生］∵23=8， =2，( )3=8；</p><p>∵(－2)3=－8，</p><p>=－2；( )3=－8；</p><p>∵( )3= ，</p><p>；</p><p>∵(－ )3=－ ，</p><p>.</p><p>( )3=a.</p><p>［师］若x3=a，则x= ，x3=( )3=a.</p><p>( )3=a.</p><p>又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就这两个式子进行练习.</p><p>［例2］求下列各式的值：</p><p>(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3</p><p>解：(1) = =－2；</p><p>(2) = ；</p><p>(3) = ；</p><p>(4)( )3=9.</p><p>Ⅲ.课堂练习</p><p>(一)随堂练习</p><p>1.求下列各式的值：</p><p>.</p><p>解： ；</p><p>2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？</p><p>解：设正方体的棱长是x厘米，得</p><p>x3=833</p><p>x3=216</p><p>x=6(厘米)</p><p>答：这个正方体的棱长是6厘米.</p><p>(二)补充练习</p><p>投影片：(2.3 B)</p><p>1.求下列各数的立方根：</p><p>0，1，－ ，6，－ ，0.001</p><p>2.求下列各式的值：</p><p>3.下列说法对不对？</p><p>－4没有立方根；</p><p>1的立方根是1；</p><p>的立方根是 ；</p><p>－5的立方根是－ ；</p><p>64的算术平方根是8.</p><p>1.解：因为03=0，所以0的立方根为0.</p><p>即 =0；</p><p>因为13=1，所以1的立方根为1.</p><p>即 =1；</p><p>因为 的立方根为 .</p><p>即 ；</p><p>6的立方根为 ；</p><p>∵－ 的立方根为－ ，即 ；</p><p>∵0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即 =0.1.</p><p>2.解： ；</p><p>.</p><p>3.答案：错.因为负数也有立方根；</p><p>错.因为1的立方根是1；</p><p>错. 的立方根是 ，平方根是 ；</p><p>对.－5的立方根是 ，－ ；</p><p>对.</p><p>Ⅳ.议一议</p><p>1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？</p><p>解：设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V= r3得</p><p>8r13= r23</p><p>8r13=r23</p><p>(2r1)3=r23</p><p>r2=2r1</p><p>即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.</p><p>2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？</p><p>解：设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得</p><p>na3=b3</p><p>b= .</p><p>即后来的棱长变为原来的 倍.</p><p>Ⅴ.课时小结</p><p>本节课学了如下内容：</p><p>1.立方根的定义.</p><p>2.立方根的性质.</p><p>3.开立方的定义.</p><p>4.平方根与立方根的区别与联系.</p><p>5.会求一个数的立方根.</p><p>Ⅵ.课后作业</p><p>习题2.5.</p><p>Ⅶ.活动与探究</p><p>1.求下列各式中的x.</p><p>(1)8x3+27=0；</p><p>(2)(x－1)3－0.343=0；</p><p>(3)81(x+1)4=16；</p><p>(4)32x5－1=0.</p><p>分析：先把每一个式子都化成x3= 的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，</p><p>解：(1)由8x3+27=0.8x3=－27</p><p>x3= x= ；</p><p>(2)由(x－1)3－0.343=0</p><p>(x－1)3=0.343</p><p>x－1= =0.7</p><p>x=1.7；</p><p>(3)由81(x+1)4=16</p><p>(x+1)4=</p><p>x+1=</p><p>x= －1x=－ 或x=－ ；</p><p>(4)由32x5－1=0</p><p>x5=</p><p>x= .</p><p>2.求满足 +1=x的x的值.</p><p>解： =x－1</p><p>x－1=－1或x－1=0或x－1=1</p><p>x=0或x=1或x=2</p><p>3.计算</p><p>(1)－ ；</p><p>(2) .</p><p>解：(1) ；</p><p>(2)</p><p>=－ .</p><p>●板书设计</p><p>2.3 立方根</p><p>一、(1)立方根开立方的定义</p><p>(2)立方根的性质</p><p>(3)立方根与平方根的联系与区别</p><p>二、例题讲解(求立方根)</p><p>三、练习</p><p>四、议一议</p><p>五、小结</p><p>六、作业</p>
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