初中数学《运用公式法》教案
<p>2.3.1 运用公式法（一）</p><p>●课 题</p><p>2.3.1 运用公式法（一）</p><p>●教学目标</p><p>（一）教学知识点</p><p>1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；</p><p>2.使学生掌握用平方差公式分解因式.</p><p>3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.</p><p>（二）能力训练要求</p><p>1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.</p><p>2.训练学生对平方差公式的运用能力.</p><p>（三）情感与价值观要求</p><p>在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.</p><p>●教学重点</p><p>让学生掌握运用平方差公式分解因式.</p><p>●教学难点</p><p>将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.</p><p>●教学方法</p><p>引导自学法</p><p>●教具准备</p><p>投影片两张</p><p>第一张（记作2.3.1 A）</p><p>第二张（记作2.3.1 B）</p><p>●教学过程</p><p>Ⅰ.创设问题情境,引入新课</p><p>［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.</p><p>如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法.</p><p>Ⅱ.新课讲解</p><p>［师］1.请看乘法公式</p><p>（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）</p><p>左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是</p><p>a2－b2=（a+b）（a－b） （2）</p><p>左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？</p><p>［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.</p><p>［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.</p><p>2.公式讲解</p><p>［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.</p><p>［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.</p><p>［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.</p><p>如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.</p><p>9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2</p><p>=（3 m +2n）（3 m －2n）</p><p>3.例题讲解</p><p>［例1］把下列各式分解因式：</p><p>（1）25－16x2;</p><p>（2）9a2－ b2.</p><p>解：（1）25－16x2=52－（4x）2</p><p>=（5+4x）（5－4x）;</p><p>（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2</p><p>=（3a+ b）（3a－ b）.</p><p>［例2］把下列各式分解因式:</p><p>（1）9（m+n）2－（m－n）2;</p><p>（2）2x3－8x.</p><p>解：（1）9（m +n）2－（m－n）2</p><p>=［3（m +n）］2－（m－n）2</p><p>=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］</p><p>=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）</p><p>=（4 m +2n）（2 m +4n）</p><p>=4（2 m +n）（m +2n）</p><p>（2）2x3－8x=2x（x2－4）</p><p>=2x（x+2）（x－2）</p><p>说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.</p><p>补充例题</p><p>投影片（2.3.1 A）</p><p>判断下列分解因式是否正确.</p><p>（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.</p><p>（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）.</p><p>［生］解：（1）不正确.</p><p>本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.</p><p>（2）不正确.</p><p>错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.</p><p>应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.</p><p>Ⅲ.课堂练习</p><p>（一）随堂练习</p><p>1.判断正误</p><p>解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （）</p><p>（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （）</p><p>（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （）</p><p>（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （）</p><p>2.把下列各式分解因式</p><p>解：（1）a2b2－m2</p><p>=（ab）2－m 2</p><p>=（ab+ m）（ab－m）;</p><p>（2）（m－a）2－（n+b）2</p><p>=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］</p><p>=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;</p><p>（3）x2－（a+b－c）2</p><p>=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］</p><p>=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;</p><p>（4）－16x4+81y4</p><p>=（9y2）2－（4x2）2</p><p>=（9y2+4x2）（9y2－4x2）</p><p>=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）</p><p>3.解：S剩余=a2－4b2.</p><p>当a=3.6,b=0.8时，</p><p>S剩余=3.62－40.82=3.62－1.62=5.22=10.4（cm2）</p><p>答：剩余部分的面积为10.4 cm2.</p><p>（二）补充练习</p><p>投影片（2.3.1 B）</p><p>把下列各式分解因式</p><p>（1）36（x+y）2－49（x－y）2;</p><p>（2）（x－1）+b2（1－x）;</p><p>（3）（x2+x+1）2－1.</p><p>解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2</p><p>=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2</p><p>=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］</p><p>=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）</p><p>=（13x－y）（13y－x）;</p><p>（2）（x－1）+b2（1－x）</p><p>=（x－1）－b2（x－1）</p><p>=（x－1）（1－b2）</p><p>=（x－1）（1+b）（1－b）;</p><p>（3）（x2+x+1）2－1</p><p>=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）</p><p>=（x2+x+2）（x2+x）</p><p>=x（x+1）（x2+x+2）</p><p>Ⅳ.课时小结</p><p>我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.</p><p>第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.</p><p>Ⅴ.课后作业</p><p>习题2.4</p><p>1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;</p><p>（2）36－x2=（6+x）（6－x）;</p><p>（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;</p><p>（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;</p><p>（5）0.25q2－121p2</p><p>=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;</p><p>（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;</p><p>（7）9a2p2－b2q2</p><p>=（3ap+bq）（3ap－bq）;</p><p>（8） a2－x2y2=（ a+xy）（ a－xy）;</p><p>2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;</p><p>（2）49（a－b）2－16（a+b）2</p><p>=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2</p><p>=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］</p><p>=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）</p><p>=（11a－3b）（3a－11b）;</p><p>（3）（2x+y）2－（x+2y）2</p><p>=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］</p><p>=（3x+3y）（x－y）</p><p>=3（x+y）（x－y）;</p><p>（4）（x2+y2）－x2y2</p><p>=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;</p><p>（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）</p><p>=3a（x+y2）（x－y2）</p><p>（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）</p><p>=（p2+1）（p+1）（p－1）.</p><p>3.解：S环形=R2－（R2－r2）</p><p>=（R+r）（R－r）</p><p>当R=8.45,r=3.45，=3.14时，</p><p>S环形=3.14（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.2023.95=186.83（cm2）</p><p>答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.</p><p>Ⅵ.活动与探究</p><p>把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式</p><p>解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc</p><p>=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc</p><p>=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc</p><p>=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2</p><p>=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］</p><p>=（b+c）［a2+bc+ab+ac］</p><p>=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］</p><p>=（b+c）（a+b）（a+c）</p><p>●板书设计</p><p>2.3.1 运用公式法（一）</p><p>一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.</p><p>2.公式讲解</p><p>3.例题讲解</p><p>补充例题</p><p>二、课堂练习</p><p>1.随堂练习</p><p>2.补充练习</p><p>三、课时小结</p><p>四、课后作业</p><p>●备课资料</p><p>参考练习</p><p>把下列各式分解因式：</p><p>（1）49x2－121y2;</p><p>（2）－25a2+16b2;</p><p>（3）144a2b2－0.81c2;</p><p>（4）－36x2+ y2;</p><p>（5）（a－b）2－1;</p><p>（6）9x2－（2y+z）2;</p><p>（7）（2m－n）2－（m－2n）2;</p><p>（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.</p><p>解：（1）49x2－121y2</p><p>=（7x+11y）（7x－11y）;</p><p>（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2</p><p>=（4b+5a）（4b－5a）;</p><p>（3）144a2b2－0.81c2</p><p>=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;</p><p>（4）－36x2+ y2=（ y）2－（6x）2</p><p>=（ y+6x）（ y－6x）;</p><p>（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;</p><p>（6）9x2－（2y+z）2</p><p>=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］</p><p>=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;</p><p>（7）（2m－n）2－（m－2n）2</p><p>=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］</p><p>=（3 m－3n）（m +n）</p><p>=3（m－n）（m +n）</p><p>（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2</p><p>=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2</p><p>=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］</p><p>=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）</p><p>=（17a－18b）（11a－24b）</p>
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