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meili 发表于 2022-10-14 16:09:18

高三数学数列测试题

高三数学章末综合测试题（9）数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为()A．6B．7C．8D．9解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，a7＝6.答案：A2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(nN*)，则a2 011等于()A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，a2 011＝a2023＋1＝a1＝1.答案：A4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，a6＞0.S6＝S7，a7＝0.又S7＞S8，a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.C错误.答案：C5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为()A．－12 B.12C．1或－12 D．－2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．当q1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，解得q＝1(舍去)，或q＝－12.综上，q＝1，或q＝－12.答案：C6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()A．3 B．4 C．5 D．6解析：an＝2023n－2－425n－1＝525n－1－252－45，n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．此时x＝1，y＝2，x＋y＝3.答案：A7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(nN *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25解析：∵3an＋1＝3an－2，an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.又nN*，n23，a23＞0，而a24＜0，a23a24＜0.答案：C8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A．1.14a B．1.15aC．11(1.15－1)a D．10(1.16－1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，wan＝a(1＋10%)n－1(16)．总产值为S6－a1＝11(1.15－1)a.答案：C9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为()A．25 B．50 C．1 00 D．不存在解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，a7a14a7＋a2023＝25.答案：A10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的nN*，点an，S2nSn()A．在直线mx＋qy－q＝0上B．在直线qx－my＋m＝0上C．在直线qx＋my－q＝0上D．不一定在一条直线上解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y， ②由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0.答案：B11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为()A．n2－n B．n2＋n＋2C．n2＋n D．n2－n＋2解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.答案：D12．设mN*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是()A．8 204 B．8 192C．9 218 D．以上都不对解析：依题意，F(1)＝0，F(2)＝F(3)＝1，有2 个F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．…F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．F(1 024)＝10，有1个．故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋12＋222＋323＋…＋929＋10.令T＝12＋222＋323＋…＋929，①则2T＝122＋223＋…＋829＋2023.②①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－2023 ＝2(1－29)1－2－2023＝210－2－2023＝－2023－2，T＝2023＋2＝8 194， m]F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.答案：A第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，an＋1＝33n－1＝3n，an＝3n－1.答案：an＝3n－114．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．解析：设{an}的公差为d，则d0.M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，M＜N.答案：M＜N15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上，an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，an＝6n2.ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.答案：6nn＋116．观察下表：12342023720232023…则第__________行的各数之和等于2 2023.解析：设第n行的各数之和等于2 2023，则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．故S＝n(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 2023，解得n＝1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(nN*)，令bn＝an－2.(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，{bn}是等比数列．∵b1＝a1－2＝－32，bn＝b1qn－1＝－2023n－1＝－32n.(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2＝－312＋122＋…＋12n＋2n＝－2023－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：(1)由题意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1(n2)，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n2)．当n＝1时，21－1＝1S1＝a1＝2.an＝2(n＝1)，2n－1 (n2).(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加，得bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.∵b1＝－1，bn＝n2－2n，cn＝－2(n＝1)，(n－2)2n－1 (n2)，Tn＝－2＋021＋122＋223＋…＋(n－2)2n－1，2Tn＝－4＋022＋123＋224＋…＋(n－2)2n.－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)2n＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)2n＝2n－2－(n－2)2n＝－2－(n－3)2n.Tn＝2＋(n－3)2n.19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．解析：(1)依题意，得3a1＋322d＋5a1＋542d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)由已知，得bn＝a2n＝22n＋1＝2n＋1＋1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.(1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；(2)求通项an. 新课标第一网解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n＝2an－n2n－1.又a1－ 120＝10，{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b＝2时，由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1当b2时，由①得an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n＝ban－12－b2n，因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.得an＝2，n＝1，12－b，2.21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．设还需组织(n－1)辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2－202325.所以n2－145n＋3 2023，解得20230，且n73.所以nmin＝25，n－1＝24.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，nN*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.∵P1为L的轨迹与y轴的交点，P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.∵数列{an}为等差数列，且公差为1，an＝n－1(nN*) ．代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(nN*)．(2)∵Pn(n－1,2n－1)，Pn＋1(n,2n＋1)．＝5n2－n－1＝5n－2023－2023.∵nN*，(3)当n2时，Pn(n－1,2n－1)，c2＋c3＋…＋cn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.

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