高三数学概率训练题
<p>高三数学章末综合测试题（10）概率</p><p>一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．</p><p>1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：</p><p>①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；</p><p>②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；</p><p>③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；</p><p>④“取出3只红球”与“取出3只白球”．</p><p>其中是对立事件的有()</p><p>A．①②B．②③</p><p>C．③④D．③</p><p>D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.</p><p>2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是()</p><p>A.14 B.13</p><p>C.12 D.23</p><p>C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12.</p><p>3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是()</p><p>A．甲获胜 B．乙获胜</p><p>C．甲、乙下成和棋 D．无法得出</p><p>C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.</p><p>4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是()</p><p>A．1－ B.4</p><p>C．1－ D．与a的取值有关</p><p>A 解析：几何概型，P＝a2－a22a2＝1－4，故选A.</p><p>5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是()</p><p>A.16 B.25</p><p>C.13 D.23</p><p>D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23.</p><p>6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是()</p><p>A.310 B.112</p><p>C.2023 D.38</p><p>D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概</p><p>率为P＝616＝38.</p><p>7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()</p><p>A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34</p><p>C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14</p><p>D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下</p><p>雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.</p><p>8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()</p><p>A.19 B.112</p><p>C.115 D.118</p><p>D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝20236＝118.</p><p>9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(25，nN)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为()</p><p>A．3 B．4</p><p>C．2和5 D．3和4</p><p>D解析：点P(a，b)的个数共有23＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.</p><p>10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为，则0，2的概率是()</p><p>A.512 B.12</p><p>C.712 D.56</p><p>C 解析：基本事件总数为36，由cos＝ab|a||b|0得a0，即m－n0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2023＝712.</p><p>11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ()</p><p>A．a＞910 B．a＞109</p><p>C．1＜a＜109 D．0＜a＜910</p><p>C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.</p><p>12．集合A＝{(x，y)|x－y－10，x＋y－10，xN}，集合B＝{(x，y)|y－x＋5，xN}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)B的概率等于 ()</p><p>A.14 B.29</p><p>C.736 D.536</p><p>B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知AB对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)B的概率为836＝29，</p><p>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．</p><p>13．若实数x，y满足|x|2，|y|1，则任取其中x，y，使x2＋y21的概率为__________．</p><p>解析：点(x，y)在由直线x＝2和y＝1围成的矩形上或其内部，使x2＋y21的点(x，</p><p>y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝2＝8.</p><p>答案：8</p><p>14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是</p><p>________．</p><p>解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十</p><p>进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.</p><p>答案：12</p><p>15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程</p><p>组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．</p><p>2023 解析：由题意，当m2n3，即3m2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，</p><p>满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m2n的基本事件数为34个，</p><p>故所求概率为P＝2023＝2023.</p><p>16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－40，y0，mx－y0)，点P是圆内的</p><p>任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最</p><p>大，则m＝__________.</p><p>0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，</p><p>则点P落在平面区域E内的概率最大．</p><p>三、解答题：本大题共6小题，共70分．</p><p>17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示</p><p>分组 </p><p>(1)将各组的频率填入表中；</p><p>(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；</p><p>(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．</p><p>解析：</p><p>分组 任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．</p><p>解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．</p><p>当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b0.</p><p>(1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，</p><p>(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．</p><p>其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为</p><p>P(A)＝912＝34.</p><p>(2)试验的全部结果所构成的区域为</p><p>{(a，b)|－4－1,13}，构成事件A的区域为{(a，b)|－4－1,13，a＋b0}，</p><p>所求概率为这两区域面积的比．</p><p>所以所求的概率P＝32－202332＝23.</p><p>22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．</p><p>(1)共有多少种安排方法？</p><p>(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？</p><p>(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？</p><p>解析：(1)安排情况如下：</p><p>甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法．</p><p>(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为</p><p>P(A)＝212＝16.</p><p>(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．</p><p>甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.</p><p>方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝2023＝56.</p>
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