2023高考数学高分方法:函数值域的求法
<p>一.观察法</p><p>通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。</p><p>例1求函数y=3+(2-3x)的值域。</p><p>点拨：根据算术平方根的性质，先求出(2-3x)的值域。</p><p>解：由算术平方根的性质，知(2-3x)0，</p><p>故3+(2-3x)3。</p><p>函数的知域为.</p><p>点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。</p><p>本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。</p><p>练习：求函数y=(05)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)</p><p>二.反函数法</p><p>当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。</p><p>例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。</p><p>点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。</p><p>解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y1的实数,故函数y的值域为{y∣y1,yR｝。</p><p>点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。</p><p>练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y-1或y1｝)</p><p>三.配方法</p><p>当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域</p><p>例3：求函数y=(-x2+x+2)的值域。</p><p>点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。</p><p>解：由-x2+x+20,可知函数的定义域为x[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4</p><p>0-x2+x+23/2,函数的值域是</p><p>点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。</p><p>练习：求函数y=2x-5+15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y3})</p><p>四.判别式法</p><p>若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。</p><p>例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。</p><p>点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。</p><p>解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)</p><p>当y2时,由=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)0，解得：2</p><p>当y=2时,方程(*)无解。函数的值域为2</p><p>点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。</p><p>练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y-8或y0)。</p><p>五.值法</p><p>对于闭区间上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。</p><p>例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。</p><p>点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。</p><p>解：∵3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得-13/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-13/2),</p><p>z=-(x-2)2+4且x[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。</p><p>当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。</p><p>函数z的值域为{z∣-515/4｝。</p><p>点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。</p><p>练习：若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()</p><p>A.(-，+)B.[-7，+]C.。</p><p>点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象</p><p>求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。</p><p>求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。</p><p>七.单调法</p><p>利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。</p><p>例1求函数y=4x-1-3x(x1/3)的值域。</p><p>点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。</p><p>解：设f(x)=4x,g(x)=-1-3x,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x</p><p>在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y4/3｝。</p><p>点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。</p><p>练习：求函数y=3+4-x的值域。(答案：{y|y3｝)</p><p>八.换元法</p><p>以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。</p><p>例2求函数y=x-3+2x+1的值域。</p><p>点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的值，确定原函数的值域。</p><p>解：设t=2x+1(t0),则</p><p>x=1/2(t2-1)。</p><p>于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.</p><p>所以，原函数的值域为{y|y-7/2｝。</p><p>点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。</p><p>练习：求函数y=x-1x的值域。(答案：{y|y-3/4｝</p><p>九.构造法</p><p>根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。</p><p>例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。</p><p>点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。</p><p>解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22</p><p>作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位</p><p>正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22,</p><p>KC=(x+2)2+1。</p><p>由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共</p><p>线时取等号。</p><p>原函数的知域为{y|y5｝。</p><p>点评：对于形如函数y=x2+a(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。</p><p>练习：求函数y=x2+9+(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y2｝)</p><p>十.比例法</p><p>对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。</p><p>例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。</p><p>点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。</p><p>解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)</p><p>x=3+4k,y=1+3k,</p><p>z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。</p><p>当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。</p><p>函数的值域为{z|z1｝.</p><p>点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。</p><p>练习：已知x,yR，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)1｝)</p><p>十一.利用多项式的除法</p><p>例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。</p><p>点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。</p><p>解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。</p><p>∵1/(x+1)0，故y3。</p><p>函数y的值域为y3的一切实数。</p><p>点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。</p><p>练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案：y2)</p><p>十二.不等式法</p><p>例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。</p><p>点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。</p><p>解：易求得原函数的反函数为y=log3,</p><p>由对数函数的定义知x/(1-x)0</p><p>1-x0</p><p>解得，0</p><p>函数的值域(0，1)。</p><p>点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。</p><p>以下供练习选用：求下列函数的值域</p><p>1.Y=(15-4x)+2x-5;({y|y3｝)</p><p>2.Y=2x/(2x-1)。(y1或y0)</p><p>注意变量哦</p>
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