高三数学知识点：几何专题热点
<p>天津市第四十二中学 张鼎言</p><p>5. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有( )</p><p>A. |FP1|+|FP2|=|FP3|</p><p>B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2</p><p>C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3|</p><p>D. |FP2|2=|FP1||FP3|</p><p>分析∵P1、P2、P3在抛物线上，</p><p>∴由抛物线定义</p><p>|PF1|=x1-(--)</p><p>=x1+-</p><p>|PF2|=x2+-</p><p>|PF3|=x3+-</p><p>又2x2=x1+x3</p><p>2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)</p><p>∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|</p><p>选C</p><p>6. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )</p><p>(A)3 (B)4</p><p>(C)3- (D)4-</p><p>解：A(x1，y1)，与B(x2，y2)关于直线x+y=0对称，又A、B在抛物线上，</p><p>-</p><p>(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)</p><p>∵点A不在直线x+y=0上</p><p>∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)</p><p>-</p><p>A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然</p><p>∴|AB|=3-，选C</p><p>7. 双曲线C1：---=1(a0，b0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2;抛物线C2的准线为l，焦点为F2;C1与C2的一个交点为M，则---等于( )</p><p>A. -1 B. 1</p><p>C. -- D. -</p><p>解：|F1F2|=2c，设|MF1|=x，|MF2|=y</p><p>由M在双曲线C1上，x-y=2a</p><p>M在抛物线C2上，|MN|= |MF2|=y</p><p>又M在C1上，由双曲线第二定义-=-=-</p><p>-</p><p>---</p><p>=---=-1 选A</p><p>注：本题把双曲线定义、第二定义与抛物线定义连结在一起，这里M在C1、C2上是突破口，所以几何图形上的公共点是知识点的交叉点，是设计问题的重要根源.</p><p>(三) 直线与圆锥曲线相切</p><p>复习导引：学习了导数，求圆锥曲线的切线多了一条重要途径，归结起来求切线可用判别式△=0或求导.</p><p>1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，(1)若-■=2，求c的值;</p><p>(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线;</p><p>(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。</p><p>解：(1)-</p><p>设A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)</p><p>△=k2+4c0</p><p>x1+x2=k，x1x2=-c，y1y2=(x1x2)2 =c2</p><p>-■=x1x2+(x1x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)</p><p>解(2)线段AB中点P(xp，yp)</p><p>xp=-，yp=-</p><p>∴xp=-，Q(-，-c)</p><p>kAQ=-</p><p>=-=2x1</p><p>又过A点的切线斜率</p><p>k=y'-=2x1</p><p>∴AQ是此抛物线在A点的切线。</p><p>解(3)过A点的切线：y-y1=2x1(x-x1)</p><p>y-x12=2x1(x-x1)</p><p>化简 y=2x1x-x12</p><p>Q(-，-c)是否满足方程。</p><p>y=2x1■-x12=x1x2=-c</p><p>∴过A点的切线过Q点</p><p>∴逆命题成立</p>
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