高三数学知识点：数列专题热点详析
<p>天津市第四十二中学 张鼎言</p><p>假设akα，由上面的递推式，用比较法：</p><p>ak+1-α=--α</p><p>=-</p><p>=-</p><p>而α是方程x2+x-1=0的根，</p><p>∴ak+1-α=-0</p><p>∴ak+1α</p><p>由上数学归纳法可证anα</p><p>分析(3)由(2)anα，又anαβ</p><p>∴anβ</p><p>bn=ln-有意义，同理an-β=-(n≥2)</p><p>bn=ln-</p><p>=2ln-=2bn-1</p><p>b1=ln-=2ln-</p><p>=2ln-</p><p>=4ln-</p><p>Sn=-</p><p>=b1g(2n-1)</p><p>=(2n+2-4)gln-</p><p>注：本题的关键是第(2)问，通过an+1-α，不等式比较法，建立了递推关系。</p><p>7. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…</p><p>(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2)，并求Sn关于n的表达式;</p><p>(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求数列{bn}的前n项和Tn。</p><p>解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。</p><p>(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)</p><p>两边同除以n(n-1)，</p><p>-Sn=-Sn-1+1</p><p>设cn=-Sn，</p><p>cn=cn-1+1，</p><p>由S1=a1=-，c1=1</p><p>∴cn=1+(n-1)=n</p><p>Sn=-</p><p>(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn</p><p>bn=npn</p><p>设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)</p><p>当p=0时，Tn=0</p><p>p=1时，</p><p>Tn=1+2+…+n=-n(n+1)</p><p>pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)</p><p>(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1</p><p>∴Tn=---，(p≠0， p≠1)</p><p>注：在递推关系中，设cn是关键，从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。</p><p>8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…</p><p>(Ⅰ)求a1,a2;</p><p>(Ⅱ)求{an}的通项公式</p><p>(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-;</p><p>n=2，S2=a1+a2=-+a2，</p><p>S2-1=a2--，</p><p>代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-;</p><p>(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，</p><p>(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，SnSn-1-2Sn+1=0</p><p>以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。</p><p>由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，</p><p>由关于Sn的递推式，</p><p>Sk+1=-=-=-，</p><p>∴Sn=-，an=-</p><p>注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。</p><p>9. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0</p><p>证明(Ⅰ)0</p><p>(Ⅱ)an+1-an3</p><p>证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-，</p><p>先用数学归纳法证明：0</p><p>n=1由已知0</p><p>考虑函数f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，</p><p>∵0</p><p>∴f'(x)0，f(x)↑</p><p>f(x)在上连续</p><p>∴f(0)</p><p>∴0</p><p>又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，</p><p>∴an-an+1=sinan0</p><p>∴0</p><p>(Ⅱ)要证an+1-an3，需证-an3-an+10，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0</p><p>g'(x)=-x2-1+cosx</p><p>=-x2-2sin2-</p><p>=2[(-)2-(sin-)2]</p><p>当0-时，用单位圆易证-sin-0</p><p>∴g'(x)0,g(x)↑0</p><p>∴g(an)g(0),-an3-an+sinan0</p><p>-an3an-sinan=an-1</p><p>注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。</p>
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