高三数学知识点：热点复习指导
<p>天津市第四十二中学 张鼎言</p><p>(一)基础题</p><p>复习导引：数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数，函数的图象是平面直角坐标系上的点集。项an是n的函数，同数Sn也是n的函数，af(n)是复合函数，如下面的第2、3题。等差、等比中项始终是高考(Q吧)拟题的知识点，如下面的第1、5题。在数列问题中，从一般到特殊的思想方法，是重要的思路，如第3、5题。</p><p>1.若an是等差数列，首项a10,a2023+a20230,a2023·a20230,则使前n项和Sn0成立的最大自然n是( )</p><p>A、2023 B、2023</p><p>C、2023 D、2023</p><p>解：∵a2023·a20230</p><p>∴a2023与a2023中必有一个为负。</p><p>又a10只有d0,a2023、a2023中才可能有负值,∴a20230</p><p>a2023+a2023=2a1+2023d=a1+a1+2023d=a1+a20230</p><p>∴S2023=-(a1+a2023)0</p><p>S2023=-(a1+a2023)</p><p>=-·2a20230</p><p>∴选B</p><p>注：本题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。</p><p>2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且-=-，则使得-为整数的正整数n的个数是( )</p><p>A.2 B.3 C.4 D.5</p><p>解：∵an,bn为等差数列</p><p>∴可设An=(7n+45)gn,</p><p>Bn=(n+3)gn</p><p>an=An-An-1=14n+38,</p><p>bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)</p><p>-=-=k,k为正整数</p><p>n=-,n为正整数，719</p><p>K=8、9、10、11、13</p><p>∴选D</p><p>注：若{an}为等差数列，那么Sn=pn2+qn，是常数项为0，关于n的二次函数。</p><p>3.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N*。设cn=-(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()</p><p>A.55B.70</p><p>C.85D.100</p><p>解：某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。</p><p>c1=-=a1+(b1-1)·1</p><p>c2=-=a1+(b2-1)·1</p><p>c3=-=a1+(b3-1)·1</p><p>c2-c1=b2-b1=1,</p><p>c3-c2=b3-b2=1</p><p>c1=a1+b1-1=4</p><p>∴{cn}为c1=4，公差为1的等差数列</p><p>∴S10=85 选C</p><p>注：-其中bn是项数，在数列中，项an是项数n的函数。</p><p>4. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S4n等于</p><p>(A)80(B)30</p><p>(C)26 (D)16</p><p>解：Sn=a1+a2+…+an=2</p><p>S2n=Sn+an+1+an+2+…+a2n</p><p>=Sn+qn(a1+a2+…+an)</p><p>=Sn+Sngqn=2+2qn</p><p>S3n=S2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n</p><p>=S2n+q2ngSn=2+2qn+2q2n=14</p><p>→qn=2</p><p>S4n=S3n+(a3n+1+a3n+2+…+a4n)</p><p>=S3n+q3ngS1=30</p><p>选B</p><p>注：这里把Sn作为一个单位，以此表示S2n,S3n,S4n,这是一个“整体”的思想方法。</p><p>5.在等差数列{an}中,若a10=0则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,n∈N)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1则有等式____成立。</p><p>分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质。</p><p>若给出a9=0,可以引出:</p><p>a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0</p><p>那么应有下面的等式:</p><p>a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n</p><p>类比等比数列:</p><p>b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1。</p><p>∴b1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n17,n∈N)</p><p>注：灵活运用等差、等比中项是数列问题中的重要内容，下面的结论有助于这种灵活应用。若p、q、m、n均为正整数,且p+q=m+n,在等差数列中有ap+aq=am+an;在等比数列中，ap·aq=am·an</p><p>6. 数列{an}中,a1=-，an+an+1=-，n∈N*则-(a1+a2+…+an)等于( )</p><p>A.- B.-</p><p>C.- D.-</p><p>分析：若把an+an+1看成一项,那么 {an+an+1}为等比数列。</p><p>(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…</p><p>=2(a1+a2+a3+a4+…)-a1</p><p>∵a1+a2=-，</p><p>-=-</p><p>∴2(a1+a2+a3+…)-a1</p><p>=-=-</p><p>-=(a1+a2+…+an)=-</p><p>选C。</p><p>注：在数列求和问题中,有时可以把几项并成一项,也有时把一项分拆成几项,这是求和中“变形”的一条重要思路.</p><p>7.已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1,a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，(1)若 bk=am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk-1=(m-1)a1;</p><p>(2)若b3=ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;</p><p>(3)是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在，写出一个q的值，并加以说明;若不存在，请说明理由;</p><p>解：(1)∵a1=b1,a2=b2≠a1→b2≠b1→q≠1</p><p>∴Sk-1=-=-</p><p>=-=-=(m-1)a1</p><p>解：(2)b3=b1q2=a1q2=a1+(i-1)gd=a1+(i-1)(a2-a1)</p><p>=a1+(i-1)(b2-b1)=a1+(i-1)(a1q-a1)</p><p>∵a1≠0,q≠1</p><p>∴q2=1+(i-1)(q-1)</p><p>q=i-2，q是整数，</p><p>由b1=a1，b2=a2,b3=ai→q=i-2</p><p>下面只讨论n4的情况</p><p>bn=b1qn-1=a1+(k-1)d=a1+(k-1)(a2-a1)=a1+(k-1)ga1g(q-1)</p><p>化简qn-1=1+(k-1)(q-1)</p><p>k=1+-1+1+q+q2+…qn-2</p><p>若i=1,q=-1,q+q2+…qn-2=0或-1</p><p>k=2,1;</p><p>i=2,q=0。矛盾</p><p>i3，k是正整数。</p><p>分析(3)b1=a1,b2=a2,a3=b(n)为所求</p><p>由a1、a2、a3成等差</p><p>b1、b2、b(n)也成等差</p><p>a3=a1+2d=b1+2(a2-a1)</p><p>=b1+2(b1q-b1)</p><p>=b1(2q-1)=b1qn-1</p><p>n3，n=3时，2q-1=q2→q=1与已知矛盾。</p><p>n=4 2q-1=q3 q3-q=q-1</p><p>q(q2-1)=q-1</p><p>q-1≠0，q2+q-1=0,又q0</p><p>∴q=-</p><p>即b1,b2,b4成等差。</p><p>注：2q-1=qn其中n,q都是未知数，因为n为正整数，所以从分析n入手。</p><p>[责任编辑:moninfu]</p>
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