高三数学知识点：集合与映射专题复习指导
<p>天津市第四十二中学 张鼎言</p><p>一、集合与简易逻辑</p><p>复习导引：这部分高考(Q吧)题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。</p><p>1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )</p><p>A.10 B. 11</p><p>C. 12 D. 13</p><p>分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决?我们不妨把抽象问题具体化!</p><p>如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si是Sj符合题目要求的两个集合。若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。</p><p>题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。</p><p>注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。</p><p>2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )</p><p>(A)CIS1∩(S2∪S3)=</p><p>(B)S1(CIS2∩CIS3)</p><p>(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=</p><p>(D)S1(CIS2∪CIS3)</p><p>分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:</p><p>摩根公式</p><p>CIA∩CIB=CI(A∪B)</p><p>CIA∪CIB=CI(A∩B)</p><p>这样,选项C中:</p><p>CIS1∩CIS2∩CIS3</p><p>=CI(S1∪S2∪S3)</p><p>由已知</p><p>S1∪S2∪S3=I</p><p>即CI(S1∪S2∪S3)=CI=</p><p>而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。</p><p>这道题的解决,也可用特殊值法,如可设S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}问题也不难解决。</p><p>3.是正实数，设S={|f(x)=cos[(x+])是奇函数}，若对每个实数a，S∩(a，a+1)的元素不超过2个，且有a使S∩(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是 。</p><p>解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0，</p><p>∴cos=0,=k+-，k∈Z</p><p>又0，∴=-(k+-)</p><p>(a，a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)</p><p>不妨设k≥0，k∈Z：</p><p>两个相邻角之差为-。</p><p>若在区间(a，a+1)内仅有二角,那么-≥1，≤2，∴≤2。</p><p>注：这是集合与三角函数综合题。</p><p>4.设集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，</p><p>(1)b的取值范围是 ;</p><p>(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的最大值为9，则b的值是 。</p><p>解：用图形分别表示集合A、B。</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>B:y≤-|x|+b</p><p>从观察图形，易知</p><p>b≥1,A∩B≠;</p><p>(2)直线l方程为x+2y-2=0</p><p>直线x+2y=9平行于l，</p><p>其截距为-</p><p>∴b=-</p><p>5.集合A={x|-0}，B={x ||x -b|A.-2≤b0 B.0</p><p>C.-3</p><p>分析A={x|-1</p><p>A、B区间长度均为2。</p><p>我们从反面考虑，若A∩B≠</p><p>此时，b+1≤-1或b-1≥1</p><p>即b≤-2或b≥2。</p><p>b≤-2或b≥2为b不能取值的范围，所以应排除A、B、C,选D。</p><p>注：本题是以集合为基础的充要条件，其难点并不是充要条件，而是对参数b的处理。本题的解法意在从A∩B≠出发,类似于不等量关系，考虑等量关系使问题简化，再用排除法。</p><p>6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有</p><p>(A)1个 (B)4个</p><p>(C)8个 (D)10个</p><p>解：根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。</p><p>(1)函数集合有一个象,如象为1,</p><p>这时f(x)=1,x=1,2,3</p><p>f=f(1)=1=f(x)</p><p>写成对应形式{1,2,3}f {1}</p><p>若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}</p><p>同理{1,2,3}f {3}</p><p>以上共有3个函数。</p><p>(2)函数集合有2个元素</p><p>如函数集合为{1,2}</p><p>有{1,3}f {1},{2}f {2}</p><p>这时f(1)=1,f=f(1)</p><p>f(3)=1,f=f(1)=f(3)</p><p>f(2)=1,f=f(2)</p><p>有两个函数。</p><p>同理 函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数</p><p>综上有6个函数</p><p>(3)函数集合有三个元素{1,2,3}</p><p>只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3</p><p>∴有一个函数,f(x)=x</p><p>∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选D。</p><p>[责任编辑:moninfu]</p>
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