高中数学知识点：椭圆的方程
<p>一、教学内容：椭圆的方程</p><p>高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.</p><p>重点：椭圆的方程与几何性质.</p><p>难点：椭圆的方程与几何性质.</p><p>二、知识点：</p><p>1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质</p><p>定 义第一定义：平面内与两个定点)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 第二定义：</p><p>平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0</p><p>标</p><p>准</p><p>方</p><p>程焦点在x轴上</p><p>焦点在y轴上</p><p>图 形焦点在x轴上</p><p>焦点在y轴上</p><p>性 质焦点在x轴上</p><p>范 围：</p><p>对称性：轴、轴、原点.</p><p>顶点：，.</p><p>离心率：e</p><p>概念：椭圆焦距与长轴长之比</p><p>定义式：</p><p>范围：</p><p>2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a</p><p>(2)余弦定理：+-2r1r2cos(3)面积：=r1r2 sin?2c| y0 |(其中P()</p><p>三、基础训练：</p><p>1、椭圆的标准方程为</p><p>，焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__;</p><p>3、两个焦点的坐标分别为___;</p><p>4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为6、方程=10，化简的结果是;</p><p>满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为</p><p>8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆 上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 .</p><p>【典型例题】</p><p>例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.</p><p>(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.</p><p>解：设方程为.</p><p>所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 .</p><p>解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.</p><p>解：设方程为</p><p>例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2023km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为2023km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).</p><p>解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，</p><p>则=|OA|-|O|=|A|=2023+439=2023</p><p>解得=2023.5，=972.5</p><p>.</p><p>卫星运行的轨道方程为</p><p>例3、已知定圆</p><p>分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：</p><p>上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆</p><p>解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，</p><p>设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以，</p><p>即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是：</p><p>例4、已知椭圆的焦点是|和|(1)求椭圆的方程;</p><p>(2)若点P在第三象限，且=120，求.</p><p>选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.</p><p>解：(1)由题设||=2||=4</p><p>(2)设，则=60-</p><p>由正弦定理得：</p><p>由等比定理得：</p><p>.</p><p>说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答</p><p>例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为，求点M的轨迹)</p><p>解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点，则的坐标为</p><p>因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，</p><p>所以有 所以点</p><p>(2)当M分 PP?@之比为时，设动点，则的坐标为</p><p>因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，</p><p>例6、设向量=(1， 0)，=(x+m)+y=(x-m)+y|+| (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;</p><p>(II)已知点A(-1， 0)，设直线y=(x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.</p><p>解：(I)∵=(1， 0)， =(0， 1)， |=6</p><p>上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0</p><p>|PF1|+|PF2|=6|F1F2|</p><p>又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.</p><p>∵ 2a=6，a=3</p><p>又∵ 2c=2m， c=m，b2=a2-c2=9-m2</p><p>所求轨迹方程为(x0，0</p><p>( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，</p><p>而y1y2=(x1-2)?(x2-2)</p><p>=</p><p> </p><p>=</p><p>若存在实数m，使得成立</p><p>则由=</p><p>可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①</p><p>消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②</p><p>因为直线与点P的轨迹有两个交点.</p><p>由①、④、⑤解得m2=9，且此时△0</p><p>但由⑤，有9m2-77=0与假设矛盾</p><p>不存在符合题意的实数m，使得</p><p>例7、已知C1：，抛物线C2：(y-m)2=2px (p0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.</p><p>(Ⅰ)当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;</p><p>(Ⅱ)若p=，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.</p><p>解：(Ⅰ)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，)或(1，-).</p><p>此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.</p><p>(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).</p><p>因为C2的焦点F(，m)在y=k(x-1)上.</p><p>所以k2x2-(k2+2)x+=0 ②</p><p>设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=</p><p>(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③</p><p>由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=</p><p>又m=-m=或m=-</p><p>当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);</p><p>当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1).</p><p>例8、已知椭圆C：(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=.</p><p>(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;</p><p>(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(-，0)，B(0，a).</p><p>(Ⅱ)当时，a=2c</p><p>由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6</p><p>a=2，c=1，b2=a2-c2=3</p><p>故所求椭圆C的方程为</p><p>(Ⅲ)∵PF1l PF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即|PF1|=C.</p><p>设点F1到l的距离为d，由</p><p>即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)</p><p>【模拟试题】</p><p>一、选择题</p><p>1、动点M到定点和的距离的和为8，则动点M的轨迹为</p><p>A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线</p><p>2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是</p><p>A、C、2--1</p><p>3、(2023年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为</p><p>A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定</p><p>4、椭圆的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为</p><p>A、32 B、16 C、8 D、4</p><p>5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则的最小值为</p><p>6、我们把离心率等于黄金比是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于</p><p>A、C、</p><p>二、填空题</p><p>7、椭圆的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .</p><p>8、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2，)，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .</p><p>9、设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则得.</p><p>10、若椭圆=1的准线平行于x轴则m的取值范围是</p><p>三、解答题</p><p>11、根据下列条件求椭圆的标准方程</p><p>(1)和椭圆共准线，且离心率为.</p><p>(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.</p><p>12、已知轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程</p><p>13、椭圆的焦点为=(3， -1)共线.</p><p>(1)求椭圆的离心率;</p><p>(2)设M是椭圆上任意一点，且=、R)，证明为定值.</p><p>【试题答案】</p><p>1、B</p><p>2、D</p><p>3、A</p><p>4、B</p><p>5、D(法一：设，则y=kx代入椭圆方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由△0得：.法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)</p><p>6、C</p><p>7、(;(0，);6;10;8;;.</p><p>10、m且m0.</p><p>11、(1)设椭圆方程.</p><p>所求椭圆方程为的坐标为</p><p>13、解：设P点横坐标为x0，则为钝角.当且仅当.</p><p>14、(1)解：设椭圆方程，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x-c，代入，化简得：</p><p>由=(x1+x2，y1+y2)，共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，</p><p>又y1=x1-c，y2=x2-c</p><p>3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0， x1+x2=</p><p>(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2</p><p>∵M 2+3</p>
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