[数学问答]怎样证明不等式
<p>不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。步骤/方法比较法</p><p>比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)</p><p>例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2</p><p>分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。</p><p>∵(a3+b3)(a2b+ab2)</p><p>=a2(a-b)-b2(a-b)</p><p>=(a-b)(a2-b2)</p><p>证明： =(a-b)2(a+b)</p><p>又∵(a-b)20</p><p>(a-b)2(a+b)0</p><p>即a3+b3a2b+ab2</p><p>例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba</p><p>分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小</p><p>证明：由a、b的对称性，不妨解a0则</p><p>aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b</p><p>∵ab0，ab1，a-b0</p><p>(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba</p><p>练习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法</p><p>利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 变形有：</p><p>(1)若a、bR，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)</p><p>(2)若a、bR+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，取等号)</p><p>(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)</p><p>例3 若a、bR， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21</p><p>分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22</p><p>证明： ∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1</p><p>b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立</p><p>练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b3综合法</p><p>综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。</p><p>例4，设 a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2023</p><p>证明：∵ a0，b0，a+b=1</p><p>ab14或1ab4</p><p>左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2</p><p>=4+(1-2ab)+1-2aba2b24+(1-12)+8=252</p><p>练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn3</p><p>求证：2f(n)f(2n)分析法</p><p>从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。</p><p>例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab</p><p>分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 |a-c|</p><p>要证c-c2-ab</p><p>只需证-c2-ab</p><p>证明： 即证 |a-c|</p><p>即证 (a-c)2</p><p>即证 a2-2ac-ab</p><p>∵a0，即要证 a-2c-b 即需证2+b2c，即为已知</p><p>不等式成立</p><p>练习4：已知aR且a1，求证：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2放缩法</p><p>放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：(1)舍去一些正项(或负项)，(2)在和或积中换大(或换小)某些项，(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等。</p><p>例6：已知a、b、c、d都是正数</p><p>求证： 1</p><p>分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。</p><p>证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1</p><p>又由ab0)可得：ba+b+c</p><p>ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b</p><p>综上知：1</p><p>练习5：已知：a2，求证：loga(a+1)1 6换元法</p><p>换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。</p><p>(1)三角换元：</p><p>是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。</p><p>例7、若x、yR+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0</p><p>证明： ∵x，yR+， 且x-y=1，x=sec ， y=tan ，(0</p><p>A=(sec-1sec(tan+1tan1sec2</p><p>=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2</p><p>=sin</p><p>∵0</p><p>复习6：已知1x2+y22，求证：12 x2-xy+y23</p><p>(2)比值换元：</p><p>对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。</p><p>例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z20234</p><p>证明：设x-1=y+12=z-23=k</p><p>于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2</p><p>把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2</p><p>=14(k+514)2+20232023反证法</p><p>有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是至少、唯一或含有否定词的命题，适宜用反证法。</p><p>例9：已知p3+q3=2，求证：p+q2</p><p>分析：本题已知为p、q的三次 ，而结论中只有一次 ，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。</p><p>证明：解设p+q2，那么p2-q</p><p>p3(2-q)3=8-12q+6q2-q3</p><p>将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+60</p><p>即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2</p><p>练习7：已知a+b+c0，ab+bc+ac0，abc0.</p><p>求证：a0，b0，c0数学归纳法</p><p>与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。</p><p>例10：设nN，且n1,求证： (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12</p><p>分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法</p><p>证明：(1)当n=2时，左= 43，右=52</p><p>∵2023不等式成立</p><p>(2)假设n=k(k2，kn)时不等式成立，即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12</p><p>那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①</p><p>要证①式左边 2k+32，只要证2k+12</p><p>2k+22k+12k+32②</p><p>对于②〈二〉2k+2 2k+12k+3</p><p>〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)</p><p>〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3</p><p>〈二〉43 ③</p><p>∵③成立 ②成立，即当n=k+1时，原不等式成立</p><p>由(1)(2)证明可知，对一切n2(nN)，原不等式成立</p><p>练习8：已知nN，且n1，求证： 1n+1+1n+2++12n 2023构造法</p><p>根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。</p><p>1构造函数法</p><p>例11：证明不等式：x1-2x</p><p>证明：设f(x)= x1-2x- x2 (x0)</p><p>∵f (-x)</p><p>=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2</p><p>=x1-2x- +x2=x1-2x-x+x2</p><p>=f(x)</p><p>f(x)的图像表示y轴对称</p><p>∵当x0时，1-2x0 ，故f(x)0</p><p>当x0时，据图像的对称性知f(x)0</p><p>当x0时，恒有f(x)0 即x1-2x</p><p>练习9：已知ab，2ba+c，求证：b- b2-ab</p><p>2构造图形法</p><p>例12：若f(x)=1+x2 ，ab，则|f(x)-f(b)| |a-b|</p><p>分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2</p><p>于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B= 1+b2</p><p>|AB|=|a-b|又0A|-|0B|AB||f(a)-f(b)||a-b|</p><p>练习10：设ac，bc，c0，求证 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的证明若能优先考虑添项技巧，能得到快速求解的效果。</p><p>1倍数添项</p><p>若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。</p><p>例13：已知a、b、cR+，那么a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)</p><p>证明：∵a、b、cR+</p><p>a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]</p><p>=1212(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc</p><p>当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。</p><p>2平方添项</p><p>运用此法必须注意原不等号的方向</p><p>例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：</p><p>(1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)</p><p>证明：∵b0，m 0时ba b+ma+m</p><p>∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、652n2n-1)(43、652n2n-1) (54、762n+12n)(43、652n2n-1)=2n+13 2n+14</p><p>(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)</p><p>3平均值添项</p><p>例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC332</p><p>分析：∵A+B+C=，可按A、B、C的算术平均值添项sin 3</p><p>证明：先证命题：若x0，y，则sinx+siny2sin x+y2(当且仅当x=y时等号成立)</p><p>∵0</p><p>上式成立</p><p>反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322</p><p>=4sin3=332</p><p>sinA+sinB332</p><p>练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC218</p><p>4利用均值不等式等号成立的条件添项</p><p>例16 ：已知a、bR+，ab且a+b=1，</p><p>求证a4+b4 18</p><p>分析：若取消ab的限制则a=b= 12时，等号成立</p><p>证明：∵a、bR+ a4+3(12)444a4 [(12)4]3=12a①</p><p>同理 b4+3(12)4 b②</p><p>a4+b412(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③</p><p>∵ab ①②中等号不成立 ③中等号不成立原不等式成立</p><p>1.是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?</p><p>错解：证明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。</p><p>正解：x=y得23 23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。</p><p>要证不等式xx+2y+xx+2y23 ，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ，而此不等式恒成立，同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。</p><p>6.2已知x,y,zR+ ，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz</p><p>错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z3xyzx2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz</p><p>错因：根据不等式的性质：若a0，c 0,则ac bd，但 ac bd却不一定成立</p><p>正解： x2y2+y2z2 2x y2z，</p><p>y2z2+z2x2 2x yz2，</p><p>x2y2+z2x2 2x 2yz，</p><p>以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z)，</p><p>两边同除以x+y+z:</p><p>x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz</p><p>6.3 设x+y0， n为偶数，求证 yn-1xn+xn-1yn</p><p>1x 1y</p><p>错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y</p><p>=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn</p><p>n为偶数， xnyn 0，又xn-yn 和xn-1-yn-1</p><p>同号，</p><p>yn-1xn+xn-1yn 1x-1y</p><p>错因：在x+y0的条件下，n为偶数时， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。</p><p>正解：应用比较法：</p><p>yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn</p><p>① 当x0时， (xn-yn)(xn-1-yn-1)</p><p>0，(xy)n 0</p><p>所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn</p><p>0故：yn-1xn+xn-1yn 1x-1y</p><p>② 当x,y有一个是负值时，不妨设x0，</p><p>且x+y0，所以x|y|</p><p>又n为偶数时,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1) 0</p><p>又 (xy)n 0，所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn</p><p>0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y</p><p>综合①②知原不等式成立</p><p></p>
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