高三数学指导:掌握常规数学思维模式(嘉?
<p>特级教师 刘勋</p><p>文科考生说,我们不考数归法,我告诉你:归纳猜想验证,这是一个解答题、体现思维能力的好的思维模式。</p><p>分析、讨论、判断、取舍;归纳猜想验证;一般特殊相互转化,这些最基础、最常规的思维模式,妙用无穷,看似寻常最奇崛,成为容易却艰辛(王安石)。</p><p>2、方程式函数化</p><p>方程问题函数化,函数问题方程化,这两化把方程的思想,函数思想融为一体,相互转化,使利用函数性质解题这个数学的大课题生辉,诸如不等函数增、减等一系列的简单思维模式到处可用。</p><p>二次函数y=ax2+bx+c(a0)求极值方法之一是判别式法(函数问题方程化)∵方程ax2+bx+(c-y)=0有实根,△=b2-4a(c-y)0</p><p>4ay4ac-b2 a0时 y■即</p><p>y小=■;a0时,y■</p><p>即y大=■</p><p>例2.已知A、B是△ABC的两个内角,且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根,求实数m的取值范围。</p><p>韦达定理,和积关系常见转化方式</p><p>■</p><p>A+B=45x1=tanA1,x2=tanB1</p><p>且都大于0。</p><p>难点如何定m的范围:函数化。</p><p>f(x)=x2+mx+m+1有二正根且都在(0,1)之间的条件:(△0不能保证根的范围)</p><p>对照图象:</p><p>■</p><p>(为什么不必△0?你能很清晰吗?)</p><p>解得:-1</p><p>这是典型的方程问题函数化,确定参数取值范围的试题。</p><p>例3.(2023上海 理11)方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图像与函数y=■的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,,xk(k4),所对应的点(x1,■)(i=1,2,,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是_________。</p><p>答案:(-,-6)(6,+)</p><p>●解法1:依题意x4+ax-4=0x3+a=■ 由图示及奇函数y=x3的图像关于原点对称的性质,得知当y=x3+a的图像从过B点起,向下平移或向上平移时,交点均在y=x同侧。</p><p>∵A(-2,2),B(2,2),把A、B坐标代入y=x3+a得a=-6或a=6,故a-6或a6即为所求。</p><p>●解法2:依题意,结合图形分析,■,得y=a+8或y=a-8</p><p>分别令y2或y-2,得a-6或a6。</p><p>[点拨评析]作为一道综合性较强、分值不高的填空题,从数形结合的思想出发,通过作图开辟解题思路,简明、具体。试题本身就在提示你,数形结合可以作为一种思维模式,实现方程化函数化的完美结合。</p><p>解题的通式、通法都可以从中提炼出可操作的模式,形成思维规律。如解不等式sinx■。如下思维操作定能做一题,通一类。</p><p>1.结合周期T=2,可先找x(0,2)的解集,再一般化;2.结合函数值的符号先肯定或否定两个区间:sinx■,Ⅲ、Ⅳ象限均不是解;3.结合单位圆先找相等的界限sinx=■,x=■或x=■;4.根据函数单调性,作取舍:■</p>
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