高考数学知识点总结：平面向量公式
<p>定比分点</p><p>定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)</p><p>设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。</p><p>若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有</p><p>OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)</p><p>x=(x1+λx2)/(1+λ),</p><p>y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)</p><p>我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式</p><p>三点共线定理</p><p>若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线</p><p>三角形重心判断式</p><p>在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心</p><p>[编辑本段]向量共线的重要条件</p><p>若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。</p><p>a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。</p><p>零向量0平行于任何向量。</p><p>[编辑本段]向量垂直的充要条件</p><p>a⊥b的充要条件是 a•b=0。</p><p>a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。</p><p>零向量0垂直于任何向量.</p><p>设a=(x，y)，b=(x'，y')。</p><p>1、向量的加法</p><p>向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。</p><p>AB+BC=AC。</p><p>a+b=(x+x'，y+y')。</p><p>a+0=0+a=a。</p><p>向量加法的运算律：</p><p>交换律：a+b=b+a;</p><p>结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。</p><p>2、向量的减法</p><p>如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0</p><p>AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”</p><p>a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').</p><p>4、数乘向量</p><p>实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。</p><p>当λ0时，λa与a同方向;</p><p>当λ0时，λa与a反方向;</p><p>当λ=0时，λa=0，方向任意。</p><p>当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。</p><p>注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。</p><p>实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。</p><p>当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;</p><p>当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。</p><p>数与向量的乘法满足下面的运算律</p><p>结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。</p><p>向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.</p><p>数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.</p><p>数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。</p><p>3、向量的的数量积</p><p>定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π</p><p>定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。</p><p>向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。</p><p>向量的数量积的运算律</p><p>a•b=b•a(交换律);</p><p>(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);</p><p>(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);</p><p>向量的数量积的性质</p><p>a•a=|a|的平方。</p><p>a⊥b 〈=〉a•b=0。</p><p>|a•b|≤|a|•|b|。</p><p>向量的数量积与实数运算的主要不同点</p><p>1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。</p><p>2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。</p><p>3、|a•b|≠|a|•|b|</p><p>4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。</p><p>4、向量的向量积</p><p>定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。</p><p>向量的向量积性质：</p><p>∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。</p><p>a×a=0。</p><p>a‖b〈=〉a×b=0。</p><p>向量的向量积运算律</p><p>a×b=-b×a;</p><p>(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);</p><p>(a+b)×c=a×c+b×c.</p><p>注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。</p><p>向量的三角形不等式</p><p>1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;</p><p>① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;</p><p>② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。</p><p>2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。</p><p>① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;</p><p>② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。</p>
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