巧添平行线 多法证一题
<p>证线段成比例，往往要通过添平行辅助线，构成人教版《几何》第二册214页的图59、510的两个基本图形，即型和型图形，再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中，到底过哪一点作平行线恰当，不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法：以比例式的一边为基准，若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上，则就把这两条线段的三个端点，分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内（外）分点，经过这三点都可作两条平行线。（但过分点作平行线，往往会使证明过程变复杂）。现以《几何》第二册255页第17题为例说明如下。</p><p>题目：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。</p><p>求证：AE：ED=2AF：FB</p><p>分析：要证明的比例式中的线段AE、ED和AF、FB，都是有公共端点且各在同一直线上，E、F分别是AD和AB的内分点，所以，至少可以分别过A、E、D、F、B各作两条平行线（如图19），同时，考虑到AD是中线，还可以过C点作平行线（如图2023）。另外，根据题设条件，不添辅助线，直接用梅勒劳斯定理也可证明。这样就得到该题的12种证法。</p><p>证法1：如图1，过点A作AG//BC，交CF的延长线于G。</p><p>则：</p><p>而，所以</p><p></p><p>图1</p><p>证法2：如图2，过点A作AG//FC，交BC的延长线于G。</p><p>则：</p><p>而</p><p>所以</p><p>即：</p><p></p><p>图2</p><p>证法3：如图3，过点E作EG//AB，交BC于G。</p><p>则： ①</p><p> ②</p><p> ③</p><p>得：</p><p>而</p><p>所以</p><p>所以</p><p>即：</p><p></p><p>图3</p><p>证法4：如图4，过点D作DG//AB，交CF于G。</p><p>则：</p><p>所以</p><p></p><p>图4</p><p>证法5：如图5，过点D作DG//CF，交AB于G。</p><p>则：</p><p>所以</p><p></p><p>图5</p><p>证法6：如图6，过点F作FG//BC，交AD于G。</p><p>则：</p><p>所以</p><p>所以</p><p>即</p><p></p><p>图6</p><p>证法7：如图7，过点F作FG//AD交BC于G。</p><p>则： ①</p><p> ②</p><p> ③</p><p>得：</p><p>而</p><p>所以</p><p>所以</p><p>从而</p><p></p><p>图7</p><p>证法8：如图8，过点B作BG//AD，交CF的延长线于G。</p><p>则：</p><p>所以</p><p>即</p><p></p><p>图8</p><p>证法9：如图9，过点B作BG//CF交AD的延长线于G。</p><p>则：</p><p>即</p><p>所以</p><p>即：</p><p></p><p>图9</p><p>证法10：如图10，过点C作CG//AB，交AD的延长线于G，连结CG。</p><p>则易证CG=AB，DG=AD</p><p>所以</p><p>而EG=ED+DG=ED+AD=AE+2ED</p><p>所以</p><p>所以</p><p>即：</p><p></p><p>图10</p><p>证法11：如图11，过点C作CG//DA交BA的延长线于G。</p><p>则易证：AG=AB，CG=2AD</p><p>所以</p><p>而FG=AF+AG=AF+AB</p><p>所以</p><p>所以</p><p>即：</p><p></p><p>图11</p><p>证法12：如图12，可看成直线FE分别截△ABD的三边于F、C、E，则由梅勤劳斯定理立即可得：</p><p></p><p>而</p><p>所以</p><p></p><p>图12</p><p>编辑推荐：</p><p>2023年中考生心理调节必备五大妙方</p><p>中考生早餐吃得要像皇帝一样</p><p>决战中考：数学必做压轴综合题（20道）</p><p>中考物理：用马铃薯确定电池正负极</p><p>近五年全国中考语文名著阅读题集锦（500篇）</p><p>中考英语作文预测及范文参考</p><p>更多中考信息》》》</p>
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