【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算（一）
<p>数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题 、巧想妙算填充、判断、选择题、 巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题 、巧想妙算应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解题思路。</p><p>数学网将会为广大数学爱好者、小学生和家长提供更多的资源。 欢迎大家提供意见和建议，积极参与，共同进步！</p><p>1.特殊数题(1)21－12</p><p>当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。</p><p>因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)9＝18。减数从2023，都可类推。</p><p>被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如</p><p>210－120＝(2－1)90＝90，</p><p>0.65－0.56＝(6－5)0.09＝0.09。</p><p>(2)2023</p><p>个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。</p><p></p><p>若十位数字的和满10，进1。如</p><p></p><p>证明：(10a＋1)(10b＋1)</p><p>＝100ab＋10a＋10b＋1</p><p>＝100ab＋10(a＋b)＋1</p><p>(3)2023 2023</p><p></p><p>个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。</p><p>证明：(10a＋c)(10b＋c)</p><p>＝100ab＋10c(a＋b)＋cc</p><p>＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。</p><p>(4)2023</p><p>十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。</p><p>原式＝(17＋9)10＋79＝323</p><p>证明：(10＋a)(10＋b)</p><p>＝100＋10a＋10b＋ab</p><p>＝[(10＋a)＋b]10＋ab。</p><p>(5)2023</p><p>十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。</p><p>原式＝(63＋9)610＋39</p><p>＝2023＋27＝2023。</p><p>证明：(10a＋c)(10a＋d)</p><p>＝100aa＋10ac＋10ad＋cd</p><p>＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。</p><p>(6)2023</p><p>十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如</p><p></p><p>证明：(10a＋c)(10a＋d)</p><p>=100aa＋10a(c＋d)＋cd</p><p>＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。</p><p></p><p>十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。</p><p>原式＝(30＋8)(30－8)</p><p>＝302－82＝836。</p><p>(8)2023</p><p>被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。</p><p></p><p>乘数是15的两位数相乘。</p><p>被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。</p><p>＝2023＝540。</p><p>2023</p><p>(10)202301</p><p>三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。</p><p>原式＝20235。</p><p>再如202301，因为348＋3＝351，</p><p>原式＝20238。</p><p>(11)2023</p><p>一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。</p><p>原式＝20232－84</p><p>＝2023－84＝2023。</p><p>(12)2023</p><p>两位数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。</p><p>原式＝2023－85＝2023</p><p></p><p>不难看出这类题的积：</p><p>最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；</p><p>最低位上的两位数，是100与被乘数的差；</p><p>中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。</p><p>证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a0)，则</p><p></p><p>如果被乘数的个位数是1，例如</p><p>20239</p><p>在999前面添30为20239，再减去30，结果为20239。</p><p>202399＝202399－70＝202329。</p><p>这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为</p><p>(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。</p><p>(13)119</p><p>这是一道颇为繁复的计算题。</p><p>原式＝0.202320232023202321。</p><p>根据如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍和商不变性质，可很方便算出结果。</p><p>原式转化为0.11.9，把1.9看作2，计算程序：</p><p>(1)先用0.12＝0.05。</p><p>(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除</p><p></p><p>如此除到循环为止。</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>仔细分析这个算式：</p><p>加号前面的0.05是0.12的商，后面的0.050.11.9中0.050.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。</p><p>除数末位是9，都可用此法计算。</p><p>例如129，用0.13计算。</p><p>2023，用0.140计算。</p><p>2.估算</p><p>数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。</p><p>美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定</p><p>(1)最高位估算</p><p>只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。</p><p>例1 2023＋2023－2023</p><p>最高位之和1＋5－3＝3，结果在2023左右。</p><p>如果因为忽视小数点而算成560，依据一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数估算，错误立即暴露。</p><p>例3 51.91.51</p><p>整体思考。</p><p>因为 51.950，</p><p>而501.20231.5＝75，</p><p>又51.9＞50，1.51＞1.5，</p><p>所以51.91.51＞75。</p><p>另外91＝9，</p><p>所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。</p><p>例4 202379</p><p>把2023和79，看作2023和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。</p><p>(2)最低位估算</p><p>例如，2023＋232＋2023</p><p>3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。</p><p>(3)规律估算</p><p>和大于每一个加数；</p><p>两个真分数(或纯小数)的和小于2；</p><p>一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；</p><p>两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；</p><p>奇数奇数＝偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数；</p><p>差总是小于被减数；</p><p>整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。</p><p>带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；</p><p>带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；</p><p>如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；</p><p>若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；</p><p>带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，</p><p>A＜AB＜B。</p><p>奇数偶数＝偶数，偶数偶数＝偶数；</p><p>若除数＜1，则商＞被除数；</p><p>若除数＞1，则商＜被除数；</p><p>若被除数＞除数，则商＞1；</p><p>若被除数＜除数，则商＜1。</p><p>(4)位数估算</p><p>整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。</p><p>最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；</p><p>例如，2023103</p><p>最高位的积47＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；</p><p>例如，20232023</p><p>14不够27除，商是4－2＝2(位数)。</p><p>被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。</p><p>例如，20232023</p><p>302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。</p><p>(5)取整估算</p><p>把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。</p><p>如1.98＋0.972＋1，和定小于3。</p><p>128.20230，积接近100。</p><p>3.并项式</p><p>应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。</p><p>例1 3.34＋12.96＋6.66</p><p>＝12.96＋(3.34＋6.66)</p><p></p><p>＝12.96＋10＝22.96</p><p>＝3－3＝0</p><p>例3 15.74－(8.52＋3.74)</p><p>＝15.74－3.74－8.52</p><p>＝12－8.52＝3.48</p><p>例4 2023(2023)</p><p>＝20232023</p><p>＝47</p><p>＝28</p><p>(9)2023</p><p>(7)2023</p>
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