阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合
<p>(1) 预习题</p><p>1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，</p><p>当x时，随x变大，y的值变大还是变小？</p><p>由此y＝f(x)在上的最大值与最小值分别是什么？</p><p>解：经配方有y＝2(x-2)2-7</p><p>∵对称轴x＝2，区间在对称轴右边，</p><p>y＝f(x)在上随x变大，y的值也变大，因此</p><p>ymax=f(4)＝1．</p><p>ymin＝f(3)＝-5．</p><p>2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？</p><p>当x时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？</p><p>由此，求y＝f(x)在上的最大值与最小值．</p><p>解：经配方有y＝2(x-a)2+3．</p><p>对称轴为x=a．</p><p>当a3时，因为区间在对称轴的右边，因此，当x时，随x变大，y的值也变大．</p><p>当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间内，此时，若3a，随x变大，y的值变小，但若a4，随x变大，y的值变大．</p><p>当4a时，因为区间在对称轴的左边，因此，当x时，随x变大，y的值反而变小．</p><p>根据上述分析，可知．</p><p>当a3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21．</p><p>当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3．</p><p>其中，a3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35．</p><p>a3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．</p><p>当a4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．</p><p>(2) 基础题</p><p>例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：</p><p>(1)m为何值时，有一正根、一负根．</p><p>(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．</p><p>(3)m为何值时，有两正根．</p><p>(4)m为何值时，有两负根．</p><p>(5)m为何值时，仅有一根在内？</p><p>解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．</p><p> m＜-2．</p><p>反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．</p><p>(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．</p><p>依韦达定理有</p><p>(m+2)+2(m-1)+1＜0．</p><p>(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件</p><p>依韦达定理有</p><p>(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在内仅有一实根条件为f(3)f(4)＜0，即</p><p>＜0．</p><p>(7m+1)(9m+10)＜0．</p><p>例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根？</p><p>解：负数根首先是实数根， ，</p><p>由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．</p><p>由以上分析，有</p><p>即</p><p>当 时，原方程有两个负数根．</p><p>(3) 应用题</p><p>例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？</p><p>解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2</p><p>所以当-5＜m-4时，方程的两个实根大于2．</p><p>例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根，，且满足0＜＜1，＞2，求实根a的取值范围．</p><p>解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜＜1，＞2的条件是：</p><p>＜1，＞2．</p><p>例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.</p><p>解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．</p><p>(4) 提高题</p><p>例1．已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．</p><p>解：（1）当 ，则所给函数为二次函数，图象满足：</p><p>，即</p><p>解得：</p><p>（2）当 时，</p><p>若 ，则 的图象不可能都在x轴上方，</p><p>若 ，则y=3的图象都在x轴上方</p><p>由（1）（2）得：</p><p>反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．</p><p>例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根，，且满足0＜＜1＜，求实数m的取值范围．</p><p>解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根，，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．</p><p>如图，0＜＜1＜的条件是</p><p>解得</p><p>例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根，，满足条件（-2，0），（1，3），求实数a的取值范围．</p><p>解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根，，并且（-2，0），（1，3）的</p><p>解得-12＜a＜0．</p><p>四、课后演武场</p><p>1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）</p><p>A． B． C． D．</p><p>2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）</p><p>A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0D．-1＜m＜1</p><p>3.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）</p><p>A． B．</p><p>C． D．</p><p>4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．</p><p>可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）</p><p>5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．</p><p>征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是</p>
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