如何能打好高一数学基础集合知识
<p>一.知识归纳：</p><p>1.集合的有关概念。</p><p>1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素</p><p>注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。</p><p>②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。</p><p>③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件</p><p>2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法</p><p>3)集合的分类：有限集，无限集，空集。</p><p>4)常用数集：N，Z，Q，R，N*</p><p>2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。</p><p>1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);</p><p>2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ，且 )</p><p>3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}</p><p>4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}</p><p>5)补集：CUA={x| x A但x∈U}</p><p>注意：①? A，若A≠?，则? A ;</p><p>②若 ， ，则 ;</p><p>③若 且 ，则A=B(等集)</p><p>3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。</p><p>4.有关子集的几个等价关系</p><p>①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;</p><p>④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。</p><p>5.交、并集运算的性质</p><p>①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;</p><p>③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;</p><p>6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。</p><p>二.例题讲解：</p><p>【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系</p><p>A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M</p><p>分析一：从判断元素的共性与区别入手。</p><p>解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z};对于集合N：{x|x= ,n∈Z}</p><p>对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。</p><p>分析二：简单列举集合中的元素。</p><p>解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。</p><p>= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，</p><p>= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。</p><p>点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。</p><p>变式：设集合 ， ，则( B )</p><p>A.M=N B.M N C.N M D.</p><p>解：</p><p>当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B</p><p>【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为</p><p>A)1 B)2 C)3 D)4</p><p>分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。</p><p>解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。</p><p>变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为</p><p>A)5个 B)6个 C)7个 D)8个</p><p>变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.</p><p>解：由已知，集合中必须含有元素a,b.</p><p>集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.</p><p>评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .</p><p>【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。</p><p>解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.</p><p>∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A</p><p>∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，</p><p>∴ ∴</p><p>变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.</p><p>解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5</p><p>∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴</p><p>又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4</p><p>∴b=-4,c=4,m=-5</p><p>【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足：A∪B={x|x-2}，且A∩B={x|1</p><p>分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。</p><p>解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。</p><p>综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}</p><p>变式1：若A={x|x3+2x2-8x0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)</p><p>点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。</p><p>变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。</p><p>解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M</p><p>①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②</p><p>综①②得：所求集合为{-1，0， }</p><p>【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。</p><p>分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解，再利用参数分离求解。</p><p>解答：(1)若 ， 在 内有有解</p><p>令 当 时，</p><p>所以a-4,所以a的取值范围是</p><p>变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。</p><p>解答：</p><p>点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。</p><p>三.随堂演练</p><p>选择题</p><p>1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}</p><p>⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数</p><p>(A)4 (B)5 (C)6 (D)7</p><p>2.集合{1，2，3}的真子集共有</p><p>(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个</p><p>3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有</p><p>(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个</p><p>4.设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是</p><p>(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U</p><p>(C)A CUB= (D)CUA B=</p><p>5.已知集合A={ }， B={ }则A =</p><p>(A)R (B){ }</p><p>(C){ } (D){ }</p><p>6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为</p><p>{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正确的是</p><p>(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)</p><p>(C)只有(2) (D)以上语句都不对</p><p>7.设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=</p><p>(A)X (B)T (C)Φ (D)S</p><p>8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为</p><p>(A)R (B) (C){ } (D){ }</p><p>填空题</p><p>9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为</p><p>10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=</p><p>11.若A={x } B={x },全集U=R，则A =</p><p>12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是</p><p>13设集合A={ },B={x },且A B，则实数k的取值范围是。</p><p>14.设全集U={x 为小于20的非负奇数}，若A (CUB)={3，7，15}，(CUA) B={13，17，19}，又(CUA) (CUB)= ，则A B=</p><p>解答题</p><p>15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求实数a。</p><p>16(12分)设A= ， B= ，</p><p>其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。</p><p>四.习题答案</p><p>选择题</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>C C B C B C D D</p><p>填空题</p><p>9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}</p><p>解答题</p><p>15.a=-1</p><p>16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A</p><p>(Ⅰ)B= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)0，得a-1</p><p>(Ⅱ)B={0}或B={-4}时， 0 得a=-1</p><p>(Ⅲ)B={0，-4}， 解得a=1</p><p>综上所述实数a=1 或a -1</p><p>实习编辑：张强 </p>
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