高一数学：对数函数及其性质测试题
<p>1．(2023年高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()</p><p>A．a＜c＜bB．b＜c＜a</p><p>C．a＜b＜cD．b＜a＜c</p><p>解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.</p><p>2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋∞)上()</p><p>A．递增无最大值B．递减无最小值</p><p>C．递增有最大值D．递减有最小值</p><p>解析：选A.设y＝logau，u＝|x－1|.</p><p>x∈(0,1)时，u＝|x－1|为减函数，∴a1.</p><p>∴x∈(1，＋∞)时，u＝x－1为增函数，无最大值．</p><p>∴f(x)＝loga(x－1)为增函数，无最大值．</p><p>3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()</p><p>A.12B.14</p><p>C．2D．4</p><p>解析：选C.由题可知函数f(x)＝ax＋logax在上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.</p><p>4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．</p><p>解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.</p><p>令u＝－x2＋4x＋120，得－26.</p><p>∴x∈(－2,2]时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，</p><p>∴y＝log13(－x2＋4x＋12)为减函数．</p><p>答案：(－2,2]</p><p>1．若loga2＜1，则实数a的取值范围是()</p><p>A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)</p><p>C．(0,1)∪(1,2)D．(0，12)</p><p>解析：选B.当a＞1时，loga2＜logaa，∴a＞2；当0＜a＜1时，loga2＜0成立，故选B.</p><p>2．若loga2logb20，则下列结论正确的是()</p><p>A．0b1B．0a1</p><p>C．a1D．b1</p><p>解析：选B.∵loga2logb20，如图所示，</p><p>∴0a1.</p><p>3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是()</p><p>A．B．[－1,1]</p><p>C．D．(－∞，22]∪上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()</p><p>A.14B.12</p><p>C．2D．4</p><p>解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，与a＞1矛盾；</p><p>当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，</p><p>loga2＝－1，a＝12.</p><p>5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上()</p><p>A．是增函数B．是减函数</p><p>C．先增后减D．先减后增</p><p>解析：选A.当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，</p><p>∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．</p><p>6．(2023年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则()</p><p>A．acB．ab</p><p>C．cbD．ca</p><p>解析：选B.∵13，则1e10，</p><p>∴01.则lge＝12lgelge，即ca.</p><p>∵01，∴(lge)2lge，即ba.</p><p>又c－b＝12lge－(lge)2＝12lge(1－2lge)</p><p>＝12lge?lg10e20，∴cb，故选B.</p><p>7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．</p><p>解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，∴logb(x－3)＞0.</p><p>又∵0＜b＜1，∴0＜x－3＜1，即3＜x＜4.</p><p>答案：3＜x＜4</p><p>8．f(x)＝log21＋xa－x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．</p><p>解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，</p><p>所以f(－x)＋f(x)＝0，即</p><p>log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0?log21－x2a2－x2＝0＝log21，</p><p>所以1－x2a2－x2＝1?a＝1(负根舍去)．</p><p>答案：1</p><p>9．函数y＝logax在[2，＋∞)上恒有|y|＞1，则a取值范围是________．</p><p>解析：若a＞1，x∈[2，＋∞)，|y|＝logax≥loga2，即loga2＞1，∴1＜a＜2；若0＜a＜1，x∈[2，＋∞)，|y|＝－logax≥－loga2，即－loga2＞1，∴a＞12，∴12＜a＜1.</p><p>答案：12＜a＜1或1＜a＜2</p><p>10．已知f(x)＝?6－a?x－4a?x1?logax?x≥1?是R上的增函数，求a的取值范围．</p><p>解：f(x)是R上的增函数，</p><p>则当x≥1时，y＝logax是增函数，</p><p>∴a1.</p><p>又当x1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．</p><p>∴6－a0，∴a6.</p><p>又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.</p><p>∴65≤a6.</p><p>综上所述，65≤a＜6.</p><p>11．解下列不等式．</p><p>(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；</p><p>(2)logx12＞1.</p><p>解：(1)原不等式等价于2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，</p><p>解得65＜x＜3，</p><p>所以原不等式的解集为(65，3)．</p><p>(2)∵logx12＞1?log212log2x＞1?1＋1log2x＜0</p><p>?log2x＋1log2x＜0?－1＜log2x＜0</p><p>?2－1＜x＜20x＞0?12＜x＜1.</p><p>∴原不等式的解集为(12，1)．</p><p>12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．</p><p>解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝log12t在[－1，＋∞)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．</p><p>因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝a6，所以a6≤－18＋a＞0?a≤－6a＞－8?－8＜a≤－6.</p>
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