高一数学二次函数知识点的定义和解题思路
<p>高中数学的内容多，抽象性、理论性比初中数学强，不少同学，特别是高一年级的学生进入高中学习后，如果还是使用原来的学习方式，不懂得更新学习方法，很可能会不适应高中数学的学习，从而很难掌握高中的数学知识，于是对数学的学习产生厌烦的想法。学好高一数学的确不是易事，高考频道建议新高一生从一个一个的知识点抓起，循序渐进，融会贯通。下面先来学习高一数学二次函数的概念和基本用法。</p><p>I.定义与定义表达式</p><p>一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：</p><p>y=ax^2+bx+c</p><p>（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a；0时，开口方向向上，a；0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）</p><p>则称y为x的二次函数。</p><p>二次函数表达式的右边通常为二次三项式。</p><p>II.二次函数的三种表达式</p><p>一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）</p><p>顶点式：y=a（x-h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]</p><p>交点式：y=a（x-x？）（x-x？）[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B（x？，0）的抛物线]</p><p>注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：</p><p>h=-b/2ak=（4ac-b^2）/4ax？，x？=（-b±√b^2-4ac）/2a</p><p>III.二次函数的图像</p><p>在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，</p><p>可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。</p><p>IV.抛物线的性质</p><p>1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线</p><p>x=-b/2a.</p><p>对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.</p><p>特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）</p><p>2.抛物线有一个顶点P，坐标为</p><p>P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）</p><p>当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。</p><p>3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。</p><p>当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。</p><p>|a|越大，则抛物线的开口越小。</p><p>4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。</p><p>当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；</p><p>当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。</p><p>5.常数项c决定抛物线与y轴交点。</p><p>抛物线与y轴交于（0，c）</p><p>6.抛物线与x轴交点个数</p><p>Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。</p><p>Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。</p><p>Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）</p><p>V.二次函数与一元二次方程</p><p>特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，</p><p>当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），</p><p>即ax^2+bx+c=0</p><p>此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。</p><p>函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。</p><p>1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：</p><p>解析式</p><p>顶点坐标</p><p>对称轴</p><p>y=ax^2</p><p>（0，0）</p><p>x=0</p><p>y=a（x-h）^2</p><p>（h，0）</p><p>x=h</p><p>y=a（x-h）^2+k</p><p>（h，k）</p><p>x=h</p><p>y=ax^2+bx+c</p><p>（-b/2a，/4a）</p><p>x=-b/2a</p><p>当h；0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，</p><p>当h；0时，则向左平行移动|h|个单位得到．</p><p>当h；0，k；0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象；</p><p>当h；0，k；0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；</p><p>当h；0，k；0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；</p><p>当h；0，k；0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；</p><p>因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．</p><p>2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：当a；0时，开口向上，当a；0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，/4a）．</p><p>3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a；0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a；0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．</p><p>4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：</p><p>（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；</p><p>（2）当△=b^2-4ac；0，图象与x轴交于两点A（x？，0）和B（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0</p><p>（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x？-x？|</p><p>当△=0．图象与x轴只有一个交点；</p><p>当△；0．图象与x轴没有交点．当a；0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y；0；当a；0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y；0．</p><p>5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a；0（a；0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．</p><p>顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．</p><p>6．用待定系数法求二次函数的解析式</p><p>（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：</p><p>y=ax^2+bx+c（a≠0）．</p><p>（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）^2+k（a≠0）．</p><p>（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x？）（x-x？）（a≠0）．</p><p>7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．</p>
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