2023初三年级数学上学期期中重点试卷(含答案解析)
<p>2023初三年级数学上学期期中重点试卷(含答案解析)</p><p>一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）</p><p>1．一元二次方程x2－x－2＝0的解是…………………………………………………（）．</p><p>A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝2</p><p>2．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是…………（）．</p><p>A．r ＞ 6B．r ≥ 6 C．r ＜ 6D．r ≤ 6</p><p>3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为………………………………………………………………………………（）．</p><p>A．302海里 B．303海里C．60海里 D．306海里</p><p>4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是……………………………………………（）．</p><p>A．50(1＋x)2＝196B．50＋50(1＋x)2＝196</p><p>C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196</p><p>5．学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是……………………………………………………………………………（）．</p><p>A．众数B．方差 C．中位数 D．平均数</p><p>6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是………………………………………（）．</p><p>A．AB＝12mB．MN∥AB C．△CMN∽△CABD．CM∶MA＝1∶2</p><p>7．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③b＜a＋c；④4a＋b＝1，其中正确的结论为……………………（）．</p><p>A．①② B．①②③C．①②④D．①③④</p><p>8．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是……………………………………………………………（）．</p><p>A．2B． 3 C． 32D． 32</p><p>9．如图，点A(a，b)是抛物线y＝12x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA</p><p>交抛物线于点B(c，d )．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：</p><p>①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过</p><p>一定点．其中正确的结论有………………………………………（）．</p><p>A．4个B．3个 C．2个D．1个</p><p>10．现定义一种变换：对于一个由任意5个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2）．则下面序列可以作为S1的是……………………………………………………（）．</p><p>A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）</p><p>C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）</p><p>二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．）</p><p>11．抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是 ．</p><p>12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下洗匀后放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．</p><p>13．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋14＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是．</p><p>14．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．</p><p>15．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB．</p><p>16．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是．</p><p>17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA等于．</p><p>18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， sin∠BAC＝13，点D是AC上一点，且BC＝BD＝2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为．</p><p>三、解答题（本大题共10小题，共84分．）</p><p>19．（本题8分）解方程：(1) (4x－1)2－9＝0(2) x2－3x－2＝0</p><p>20．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．</p><p>(1)求证△BPD∽△CEP．</p><p>(2)是否存在这样的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的长；</p><p>若不存在，说明理由．</p><p>21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．</p><p>(1)求证：CD为⊙O的切线．</p><p>(2)若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)</p><p>22．（本题8分）2023年12月31日晚23时35分许，上海外滩陈毅广场发生拥挤踩踏事故．为了排除安全隐患，因此无锡市政府决定改造蠡湖公园的一处观景平台．如图，一平台的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使平台更加牢固，欲改变平台的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将平台底部向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）</p><p>23．（本题8分）有七张除所标数值外完全相同的卡片，把所标数值分别为－2、－1、3、4的四张卡片放入甲袋，把所标数值分别为－3、0、2的三张卡片放入乙袋．现在先后从甲、乙两袋中各随机取出一张卡片，按照顺序分别用x、y表示取出的卡片上标的数值，并把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．</p><p>(1)请用树状图或列表法写出点A(x，y)的所有情况．</p><p>(2)求点A属于第一象限的点的概率．</p><p>24．（本题8分）学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八(5)班甲、乙两个小组都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八(5)班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两组各10人的比赛成绩如下表：</p><p>甲组 7 8 9 7 10</p><p>10 9 10 10 10</p><p>乙组 10 8 7 9 8 10</p><p>10 9 10 9</p><p>(1)甲组成绩的中位数是 分，乙组成绩的众数是 分．</p><p>(2)计算乙组的平均成绩和方差．</p><p>(3)已知甲组成绩的方差是1.4，则选择组代表八(5)班参加学校比赛．</p><p>25．（本题8分）在“美化校园”活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边DA、DC足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x (m)．</p><p>(1)若花园的面积为192m2，求x的值．</p><p>(2)若在P处有一棵树与墙DC、DA的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．求花园面积S的最大值．</p><p>26．（本题8分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D（1，n）．</p><p>(1)求抛物线的函数表达式．</p><p>(2)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、</p><p>D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出</p><p>点N的坐标；若不存在，请说明理由．</p><p>27．（本题10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t (0≤t≤2，单位：s)，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S (cm2) ．</p><p>(1)当t＝ s时，点P与点Q重合．</p><p>(2)当t＝ s时，点D在QF上．</p><p>(3)当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．</p><p>28．（本题10分）木匠黄师傅用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：</p><p>方案一：直接锯一个半径最大的圆；</p><p>方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；</p><p>方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；</p><p>方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．</p><p>(1)写出方案一中圆的半径．</p><p>(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？</p><p>(3)在方案四中，设CE＝x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．</p><p>2023初三年级数学上学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分标准</p><p>一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）</p><p>1．D2．A 3. A4. C 5. C 6 . D7. B8.B9. B 10. D</p><p>二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）</p><p>11．（1，2）12．27 13．当b=－12时，方程无解(答案不唯一)14．300π</p><p>15．∠AED＝∠B（答案不唯一） 16．x＜－1或1＜x＜217．218．143</p><p>三、解答题：（本大题共10小题，共84分．）</p><p>19．（1） (4x－1)2－9＝0（2）x2―3x―2＝0</p><p>4x－1＝±3 ……… 2分 Δ＝17………2分</p><p>x1＝1，x2＝－12……… 4分 x1＝3＋172，x2＝3－172 ……4分</p><p>20．解：（1）∵AB＝AC∴∠B＝∠C ……………………1分</p><p>∵∠DPC＝∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠BDP……2分</p><p>∴∠EPC ＝∠BDP …………………………3分</p><p>∴△ABD∽△DCE……………………………4分</p><p>（2）作AH⊥BC</p><p>在Rt△ABH和Rt△PDE中</p><p>∴cos∠ABH＝cos∠DPE＝BHAB＝PDPE＝35………………… 6分</p><p>∴PDPE＝BDPC＝35又∵PC＝4 ∴BD＝125……………8分</p><p>21．（1）证明：连接OD∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°………………1分</p><p>∵CD＝CB，OB＝OD ∴∠CBD＝∠CDB，∠OBD＝∠ODB……………2分</p><p>∴∠ODC＝∠ABC＝90°即OD⊥CD∴CD为⊙O的切线……………4分</p><p>（2）解：作OF⊥DB，在Rt△OBF中，</p><p>∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝3……… 5分</p><p>∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝23， ∠BOD＝2∠BOF＝120° …………6分</p><p>∴S阴影＝43π－3．…………………………………………………………8分</p><p>22．解：过A点作AE⊥CD于E．</p><p>在Rt△ABE中，∠ABE＝62°．∴AE＝AB?sin62°＝25×0.88＝22米，……2分</p><p>BE＝AB?cos62°＝25×0.47＝11.75米，………4分</p><p>在Rt△ADE中，∠ADB＝50°，</p><p>∴DE＝AEtan50°＝553…………………6分</p><p>∴DB＝DC－BE≈6.58米．………………7分</p><p>答：向外拓宽大约6.58米． ……………8分</p><p>23．（1）</p><p>－2 －1 3 4</p><p>－3 (－2, －3) (－1, －3) (3, －3) (4, －3)</p><p>0 (－2, 0) (－1, 0) (3, 0) (4, 0)</p><p>2 (－2, 2) (－1, 2) (3, 2) (4, 2)</p><p>∴如表所示，所有情况共有12种…………………………………………………4分</p><p>（2）因为属于第一象限的点的坐标有(3, 2)和(4, 2)共2种，…………………………6分</p><p>所以概率P＝16 ……………………………………………………………………8分</p><p>24．（1）9.510 ……2分 （2）x—＝9，方差＝1 ……6分 （3）乙 ……8分</p><p>25．（1）根据题意，得x(28－x)＝192 ………………………………………………2分</p><p>解得x＝12或x＝16 ………………………………………………3分</p><p>∴x的值为12m或16m………………………………………………4分</p><p>（2）∵根据题意，得6≤x≤13…………………………………………………5分</p><p>又∵S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196……………………………………………6分</p><p>∴当x≤14时，S随x的增大而增大</p><p>所以当x＝13时，花园面积S最大，最大值为195m2……………………………8分</p><p>26．解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA＝4，OC＝3，得：E(2，3)，………1分</p><p>则可求得抛物线函数关系式为y＝－34(x－2)2＋3＝－34x2＋3x；………………………3分</p><p>（2）可得点D坐标为(1，94) ……………………………………………………………4分</p><p>存在，分两种情况考虑：</p><p>①当点M在x轴上方时，如答图1所示：</p><p>四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM＝AN，</p><p>∵DM＝2，∴AN＝2， ∴N1（2，0），N2（6，0）………………………………………6分</p><p>②当点M在x轴下方时，如答图2所示：</p><p>过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，</p><p>∴MP＝DQ＝94，NP＝AQ＝3，∴N3（－7－1，0），N4（7－1，0）．………………8分</p><p>27．解：（1）1 ……1分（2）45……2分</p><p>（3）当1＜t≤43时，如图②，设DE交FQ于点H，则重合部分为梯形DHQP</p><p>可求得：PQ＝2t－2，HD＝52t－2 ……3分</p><p>∴S＝12( PQ＋HD )?DP＝12 ( 2t－2＋52 t－2 )?t＝94 t 2－2t(1＜t≤43) ……5分</p><p>当43＜t＜2时，如图③，设DE交BC于点M，DP交BC于点N，</p><p>则重合部分为六边形EFQPNM</p><p>可求得：AQ＝2－t，AF＝4－2t</p><p>∴S△FAQ ＝12 AQ?AF＝( 2－t )2………………………………………7分</p><p>同样可求得：DN＝3t－4，DM＝12 ( 3t－4 )</p><p>∴S△DMN ＝12 DM?DN＝12 ?12 ( 3t－4 )( 3t－4 )＝14 ( 3t－4 )2………………8分</p><p>∴S＝S正方形APDE－S△FAQ－S△DMN＝－94 t 2＋10t－8……………………9分</p><p>综上所述，S＝94t2－2t(1＜t≤43)－94t2＋10t－8(43＜t＜2)……………………10分</p><p>28．解：（1）方案一中的最大半径为1．………………………2分</p><p>（2）设半径为r，</p><p>方案二：在Rt△O1O2E中， (2r)2＝22＋(3－2r)2，解得 r＝2023 …4分</p><p>方案三：∵△AOM∽△OFN， ∴r3－r＝2－rr，解得r＝65…6分</p><p>∵2023＜65，∴方案三半径较大……………………………………7分</p><p>（3）方案四所拼得的图形水平方向跨度为3－x，竖直方向跨度为2＋x．</p><p>所以所截出圆的直径最大为(3－x)或(2＋x)两者之中较小的．……………………………8分</p><p>当3－x＜2＋x时，即当x＞12时，r＝12(3－x)；此时r随x的增大而减小，所以r＜12(3－12)＝54；</p><p>当3－x＝2＋x时，即当x＝12时，r＝12(3－12)＝54；</p><p>当3－x＞2＋x时，即当x＜12时，r＝12(2＋x)．此时r随x的增大而增大，所以r＜12(2＋12)＝54；</p><p>∴方案四，当x＝12时，r最大为54．………………………………………………………………9分</p><p>∵1＜2023＜65＜54，∴方案四中所得到的圆形桌面的半径最大．……………………………10分</p>
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