2023初三数学上学期期中一元二次方程试题(含答案解析)
<p>2023初三数学上学期期中一元二次方程试题(含答案解析)</p><p>一、选择题（每小题3分，共30分）</p><p>1.已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 －12x+35=0的根，则该三角形的周长是（）</p><p>A.14B.12C.12或14D.以上都不对</p><p>2. 方程(x－2)(x+3)=0的解是（）</p><p>A.x=2B.x=－3</p><p>C.x1=－2，x2=3 D.x1=2，x2=－3</p><p>3．要使方程 + 是关于 的一元二次方程，则（）</p><p>A．B．</p><p>C． 且D． 且</p><p>4．下列关于x的方程有实数根的是（）</p><p>A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0</p><p>C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋1＝0</p><p>5．已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则 的值是（）</p><p>A.7B.－7</p><p>C.11D.－11</p><p>6．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是（）</p><p>A．100 m2 B．64 m2</p><p>C．121 m2 D．144 m2</p><p>7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）</p><p>A. =B. =C.1+2x=D.1+2x=</p><p>8. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）</p><p>A.438 =389B.389 =438</p><p>C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389</p><p>9.关于 的一元二次方程 的根的情况是（）</p><p>A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根</p><p>C．没有实数根D．无法确定</p><p>10．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是（）</p><p>A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根</p><p>C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根</p><p>二、填空题（每小题3分，共24分）</p><p>11．若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是________．</p><p>12．若一元二次方程a －bx－2 015=0有一根为x=－1，则a+b</p><p>=.</p><p>13．若|b－1|+ =0，且一元二次方程k +ax+b=0（k≠0）有实数根，则k的取值范围是 .</p><p>14．若（ 是关于 的一元二次方程，则 的值是________．</p><p>15．若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______．</p><p>16.若矩形的长是 ，宽是 ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．</p><p>17．解一元二次方程 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程_________.</p><p>18．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程.</p><p>三、解答题（共46分）</p><p>19.（6分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3）的解．</p><p>20.（6分）已知关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值.</p><p>21．（6分）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.</p><p>22．（6分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．</p><p>23.（6分）已知关于 的方程（ 的两根之和为 ，两根之差为1，其中 是△ 的三边长．</p><p>（1）求方程的根；</p><p>（2）试判断△ 的形状．</p><p>24．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为 .</p><p>（1）用含 的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；</p><p>（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率 .</p><p>25．（8分）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程 千米，应收 元”．该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价 是多少元．</p><p>里程（千米）</p><p>价格（元）</p><p>2023初三数学上学期期中一元二次方程试题(含答案解析)参考答案及评分标准</p><p>1. B解析：解方程 -12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.</p><p>2. D解析：由（x-2）(x+3)=0，得x-2=0或x+3=0，解得 =2， =-3.</p><p>3. B解析：由 ，得 ．</p><p>4. C 解析： 把A，B选项中a，b，c的对应值分别代入 中，A，B选项中 ，故A，B选项中的方程都没有实数根；而D选项中，由 得 －1，因为 ，所以 没有实数根；只有C选项中的方程有实数根.</p><p>5. A解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.</p><p>可以把a和b看作是方程 －6x+4=0的两个实数根，</p><p>∴ a+b=6，ab=4，∴ 7.</p><p>点拨：一元二次方程根与系数的关系常见的应用有：验根、确定根的符号；求与根相关的代数式的值；由根求出新方程等.</p><p>6.B解析：设原来正方形木板的边长为x m．</p><p>由题意，可知x(x-2)=48，即x2-2x-48=0，</p><p>解得x1=8，x2=-6（不合题意，舍去）．</p><p>所以原来这块正方形木板的面积是8×8=64（m2）．</p><p>点拨：本题考查了一元二次方程的应用，理解从一块正方形木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，是解本题的关键．</p><p>7. B 解析：设此股票原价为a元，跌停后的价格为0.9a元.</p><p>如果每天的平均增长率为x，经过两天涨价后的价格为0.9a ，</p><p>于是可得方程0.9a =a，即x满足的方程是 = .</p><p>8. B解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为x，</p><p>得去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，</p><p>今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）（1+x）=389 （元），</p><p>根据关键语句“今年上半年发放了438元”，可得方程389 =438.</p><p>点拨：关于增长率问题一般列方程a(1+x)n=b，其中a为基础数据，b为增长后的数据，n为增长次数，x为增长率.</p><p>9. A解析：因为 +</p><p>4＞0，所以方程有两个不相等的实数根.</p><p>10.A 解析：因为</p><p>又因为 分别是三角形的三边长，</p><p>所以</p><p>所以 所以方程没有实数根.</p><p>11．解析：不可忘记 ．</p><p>12．2 015解析：把x= -1代入方程中得到a+b-2 015=0，即a+b=2 015.</p><p>13．k≤4且k≠0解析：因为|b-1|≥0， ≥0，</p><p>又因为|b－1|+ =0，所以|b-1|=0， =0，</p><p>即b－1=0，a－4=0，所以b=1，a=4.</p><p>所以一元二次方程k +ax+b=0变为k +4x+1=0.</p><p>因为一元二次方程k +4x+1=0有实数根，</p><p>所以Δ=16－4k≥0，解得k≤4.</p><p>又因为k≠0，所以k≤4且k≠0.</p><p>14．解析：由题意得 解得 或 ．</p><p>15．1解析：由 ，得 ，</p><p>原方程可化为 ，</p><p>解得．</p><p>16．解析：设正方形的边长为 ，</p><p>则 ，解得 ，</p><p>由于边长不能为负，故 舍去，</p><p>故正方形的边长为 ．</p><p>17. 或解析：将 分解因式，得 .</p><p>， ，则有 或 .</p><p>18. x2－5x+6=0（答案不唯一）解析：设Rt△ABC的两条直角边的长分别为a，b.因为S△ABC=3，所以ab=6.又因为一元二次方程的两根为a，b(a＞0，b＞0)，所以符合条件的一元二次方程为(x－2)(x－3)=0或(x－1)(x－6)=0等，即x2－5x+6=0或x2－7x+6=0等.</p><p>19.解：∵ ，</p><p>∴ ．</p><p>∴ ，∴ ，∴ ．</p><p>20. 解：∵ 关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根，</p><p>∴ Δ= 4×1×4=0，</p><p>∴ 2m 1=±4，∴ m= 或m= .</p><p>点拨：判断一元二次方程根的情况时要分 4ac（即Δ）的值大于零、等于零、小于零三种情况来判断.当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根.特别地，当Δ≥0时，方程有两个实数根.反之亦成立.</p><p>21．解：设小正方形的边长为 .</p><p>由题意，得</p><p>解得</p><p>所以截去的小正方形的边长为 .</p><p>22．解：解方程 ，</p><p>得 ．</p><p>方程 的两根是 ．</p><p>所以 的值分别是 ．</p><p>因为 ，</p><p>所以以 为边长的三角形不存在．</p><p>点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用三角形的三边关系来判断．</p><p>23．解：（1）设方程的两根为 ，</p><p>则</p><p>解得</p><p>（2）当 时， ，</p><p>所以 .</p><p>当 时，</p><p>所以 .</p><p>所以 .所以△ 为等边三角形．</p><p>24．解：（1） .</p><p>（2）根据题意，得 .</p><p>解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．</p><p>故可变成本平均每年增长的百分率是10%．</p><p>25．解：依题意，得，</p><p>整理，得 ，</p><p>解得 .</p><p>由于 ，所以 舍去，</p><p>所以 ．</p><p>答：起步价是10元．</p>
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