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meili 发表于 2022-10-14 16:02:04

福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)

福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共40分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是()A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为()A．20° B．40° C．60° D．80°3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程()A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=5004．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是()A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣ 且a≠0 D．a＞且a≠05．如图，下列图形中，是中心对称图形的是()A． B． C． D．6．下列事件是随机事件的为()A．度量三角形的内角和，结果是180°B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯C．爸爸的年龄比爷爷大D．通常加热到100℃时，水沸腾7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为()A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+28．已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是()A．5 B．10 C．15 D．209．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为()A．y=x2﹣2 B．y=x2+2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）210．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A．AE＞BE B． = C．∠AEC=2∠D D．∠B=∠C．11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．. B．. C．. D．.二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）12．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是__________．13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是__________cm2，弧长__________cm．14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．15．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是__________．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为__________．17．若a、b（a＜b）是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则点（a，b）关于x轴的对称点的坐标是__________．18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值__________．三、解答题（本大题共8题，共89分）19．已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．20．设点A的坐标为（x，y），其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．（1）求出点A的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求点A与点B（1，﹣1）关于原点对称的概率．21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？22．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）25．（13分）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．解：26．（14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共40分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是()A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写成顶点坐标．【解答】解：因为抛物线y=2（x﹣1）2+2是顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，2）．故选B．【点评】抛物线的顶点式的应用．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为()A．20° B．40° C．60° D．80°【考点】圆周角定理．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程()A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．【解答】解：设平均每月增率是x，二月份的产量为：500×（1+x）；三月份的产量为：500（1+x）2=720；故本题选B．【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．4．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是()A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣ 且a≠0 D．a＞且a≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：依题意列方程组，解得a≥﹣ 且a≠0．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．如图，下列图形中，是中心对称图形的是()A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，只有A符合；B，C，D不是中心对称图形．故选；A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6．下列事件是随机事件的为()A．度量三角形的内角和，结果是180°B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯C．爸爸的年龄比爷爷大D．通常加热到100℃时，水沸腾【考点】随机事件．【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断．【解答】A、是必然事件，选项错误；B、正确；C、是不可能事件，选项错误；D、是必然事件，选项错误．故选B．【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为()A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2【考点】二次函数的三种形式．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选：D．【点评】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．8．已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是()A．5 B．10 C．15 D．20【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．【解答】解：∵母线为15，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×15×x=150π．解得：x=10．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．9．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为()A．y=x2﹣2 B．y=x2+2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】存在型．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A．AE＞BE B． = C．∠AEC=2∠D D．∠B=∠C．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】根据垂径定理和圆周角定理判断即可．【解答】解：∵AB⊥CD，CD过O，∴AE=BE，弧AD=弧BD，连接OA，则∠AOC=2∠ADE，∵∠AEC＞∠AOC，∴∠AEC=2∠D错误；∵AB不是直径，∴根据已知不能推出弧AC=弧BD，∴∠B和∠C不相等，即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；故选A．【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．. B．. C．. D．.【考点】动点问题的函数图象．【分析】过点P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面积，则需要求出BE，PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围．【解答】解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC= = ，∵AP=x，∴PC= ﹣x，∴PF=FC= （ ﹣x）=1﹣ x，∴BF=FE=1﹣FC= x，∴S△PBE= BE?PF= x（1﹣ x）=﹣ x2+ x，即y=﹣ x2+ x（0＜x＜），∴y是x的二次函数（0＜x＜），故选D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）12．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合3.5＜4，即可解决问题．【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3.5，而3.5＜4，∴直线L与⊙O相交．故答案为：相交．【点评】该题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用问题；若圆的半径为λ，圆心到直线的距离为μ，当λ＞μ时，直线与圆相交；当λ=μ时，直线与圆相切；当λ＜μ时，直线与圆相离．13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是3πcm2，弧长2πcm．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，再根据弧长公式计算出其弧长即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm，∴S扇形= =3π（cm2）；l= =2π（cm）．故答案为：3π，2π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：白白红白（白，白）（白，白）（红，白）白（白，白）（白，白）（红，白）红（白，红）（白，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，则P（颜色不同）= ．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】确定出抛物线y= x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵y= x2﹣2x= （x﹣2）2﹣2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x=2，当x=2时，y= ×22=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（2+2）×2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．17．若a、b（a＜b）是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则点（a，b）关于x轴的对称点的坐标是（，﹣3）．【考点】解一元二次方程-因式分解法；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出a与b的值，即可得出（a，b）关于x轴的对称点坐标．【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1= ，x2=3，∴a= ，b=3，则（，3）关于x轴的对称点坐标为（，﹣3），故答案为：（，﹣3）【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．【考点】垂径定理；轴对称-最短路线问题．【专题】动点型．【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B= ．∴PA+PB=PA′+PB=A′B= ．故答案为：．【点评】本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．三、解答题（本大题共8题，共89分）19．已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可；（2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；（3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2）；（2）∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ ，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣ ，0），（﹣1+ ，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．20．设点A的坐标为（x，y），其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．（1）求出点A的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求点A与点B（1，﹣1）关于原点对称的概率．【考点】列表法与树状图法；关于原点对称的点的坐标．【分析】列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：（解法一）（1）列举所有等可能结果，画出树状图如下由上图可知，点A的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、（2，1）、（2，2），共有6种，（2）由（1）知，能与点B（1，﹣1）关于原点对称的结果有1种．∴P（点A与点B关于原点对称）=（解法二）（1）列表如下﹣1 1 2﹣1 （﹣1，﹣1）（﹣1，1）（﹣1，2）2 （2，﹣1）（2，1）（21，2）由一表可知，点A的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、（2，1）、（2，2），共有6种，（2）由（1）知，能与点B（1，﹣1）关于原点对称的结果有1种．∴P（点A与点B关于原点对称）= ．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．【解答】解：（1）由题意得出：w=（x﹣20）?y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣2023，故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣2023；（2）w=﹣2x2+120x﹣2023=﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．解得 x1=25，x2=35．∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．22．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】（1）利用y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线y=x2﹣4x+3交y轴于点C，即可得出A，B，C点的坐标，将B，C点的坐标分别代入y=kx+b（k≠0），即可得出解析式；（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．令x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），C（0，3），将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得，解得：k=﹣1，b=3，BC所在直线为：y=﹣x+3；（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，∴ ，∴x2﹣3x+3﹣b=0，∴△=9﹣4（3﹣b）=0，解得b= ，∴ ，解得，，则点D的坐标为：（，﹣ ）．【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的性质．【分析】（1）直接写出点A关于原点O对称的点的坐标即可．（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B′的坐标，根据弧长公式列式计算即可得解；（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可．【解答】解：（1）点A关于原点O对称的点的坐标为（2，﹣3）；（2）△ABC旋转后的△A′B′C′如图所示，点A′的对应点的坐标为（﹣3，﹣2）；OA′= = ，即点A所经过的路径长为 = ；（3）若AB是对角线，则点D（﹣7，3），若BC是对角线，则点D（﹣5，﹣3），若AC是对角线，则点D（3，3）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边平行且相等的性质，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论．24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．【解答】（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，∵⊙A与OM相切于点B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，∴EF=AF?tan60°=2 ，∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF?EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π．【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25．（13分）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．解：【考点】根的判别式；抛物线与x轴的交点．【专题】证明题．【分析】（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）2﹣4k×3=（3k﹣1）2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）先理由求根公式得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣ ，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．【解答】（1）证明：△=（3k+1）2﹣4k×3=（3k﹣1）2，∵（3k﹣1）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）x= ，x1=﹣ ，x2=﹣3，所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，根据题意得﹣ 为整数，所以整数k为±1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点．26．（14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB，又由AC=2BC则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案．【解答】（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD，∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA=∠CAD，∵O′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA，∴∠CAD=∠CAB；（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°，∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴ = ，即OC2=OA?OB，∵AC=2BC，∴tan∠CAO=tan∠CAB= ，∴AO=2CO，又∵AB=10，∴OC2=2CO（10﹣2CO），解得CO1=4，CO2=0（舍去），∴CO=4，AO=8，BO=2∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2，∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，∴c=4，由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2﹣ x+4；②设直线DC交x轴于点F，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=8，∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴ = ，∴O′F?AD=O′C?AF，∴8（BF+5）=5（BF+10），∴BF= ，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，∴直线DC的解析式为y=﹣ x+4，由y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ （x+3）2+ 得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣ x+4中，右边=﹣ ×（﹣3）+4= =左边，∴抛物线顶点E在直线CD上．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

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福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)