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meili 发表于 2022-10-14 16:02:04

曲靖市2023初三年级上册数学期中综合试卷(含答案解析)

曲靖市2023初三年级上册数学期中综合试卷(含答案解析)一、选择题（每小题3分，共24分）1．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是()A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，22．下列函数中是二次函数的为()A．y=3x﹣1B．y=3x2﹣1C．y=（x+1）2﹣x2D．y=x3+2x﹣33．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为()A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=174．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为()A．0，5B．0，1C．﹣4，5D．﹣4，15．方程x2﹣ =0的根的情况为()A．有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根6．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是()A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣27．某城市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2023年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是()A．300（1+x）=363B．300（1+x）2=363C．300（1+2x）=363D．363（1﹣x）2=3008．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是()A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）9．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x=__________．10．二次函数y=x2+2x﹣4的图象的开口方向是__________．对称轴是__________．顶点坐标是__________．11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是__________．12．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为__________．13．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是__________．14．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为__________．15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来．16．三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是__________．三、解答题（共8个小题、共72分）17．（16分）用适当的方法解方程：（1）x2﹣2x﹣3=0；__________（2）x2﹣3x﹣1=0；（3）x（2x+3）=4x+6；（4）（2x+3）2=x2﹣6x+9．18．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）求它与x轴的交点；（3）画出这个二次函数图象的草图．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=__________和k=__________．20．已知：抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．21．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．22．如图，已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣ 6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2023元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．24．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．（1）直接写出点C、D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．曲靖市2023初三年级上册数学期中综合试卷(含答案解析)参考答案及试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是()A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2考点：一元二次方程的一般形式．专题：压轴题；推理填空题．分析：a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解答：解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．下列函数中是二次函数的为()A．y=3x﹣1B．y=3x2﹣1C．y=（x+1）2﹣x2D．y=x3+2x﹣3考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义，可得答案．解答：解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y=3x2﹣1是二次函数，故B正确；C 、y=（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；D、y=x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，要先化简再判断．3．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为()A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17考点：解一元二次方程-配方法．分析：先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解答：解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．4．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为()A．0，5B．0，1C．﹣4，5D．﹣4，1考点：二次函数的三种形式．分析：可将y=（x﹣2）2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b、k的值．解答：解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k=x2﹣4x+（4+k），又∵y=x2+bx+5，∴x2﹣4x+（4+k）=x2+bx+5，∴b=﹣4，k=1．故选D．点评：本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．5．方程x2﹣ =0的根的情况为()A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根考点：根的判别式．分析：要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．解答：解：∵x2﹣ =0=0，∴△=b2﹣4ac=8﹣8=0，∴方程有两个相等的实数根．故选D．点评：此题利用了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．6．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是()A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解答：解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；故选B．点评：本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的规律是解答此题的关键．7．某城市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2023年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是()A．300（1+x）=363B．300（1+x）2=363C．300（1+2x）=363D．363（1﹣x）2=300考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．解答：解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300（1+x）2=363．故选B．点评：本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是()A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较看是否一致．解答：解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，故选C．点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题（每小题3分，共24分）9．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3= 0，那么x2+3x=1．考点：换元法解一元二次方程．专题：计算题．分析：设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．解答：解：设x2+3x=y，方程变形得：y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，解得：y=1或y=﹣3，即x2+3x=1或x2+3x=﹣3（无解），故答案为：1．点评：此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．二次函数y=x2+2x﹣4的图象的开口方向是向上．对称轴是x=﹣1．顶点坐标是（﹣1，﹣5）．考点：二次函数的性质．分析：根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点坐标公式可求顶点坐标及对称轴．解答：解：因为a=1＞0，图象开口向上；顶点横坐标为x= =﹣1，纵坐标为y= =﹣5，故对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣5）．点评：主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．考点：根的判别式．专题：判别式法．分析：若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则△=b2﹣4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，∴△=b2﹣4ac＜0，即22﹣4×1×（﹣k）＜0，解这个不等式得：k＜﹣1．故答案为：k＜﹣1．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．12．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为2．考点：抛物线与x轴的交点．分析：当x=0时，求出与y轴的纵坐标；当y=0时，求出与x轴的交点横坐标，从而求出与坐标轴的交点．解答：解：当x=0时，y=1，则与y轴的交点坐标为（0，1）；当y=0时，x2﹣2x+1=0，解得x1=x2=1．则与x轴的交点坐标为（1，0）；综上所述，抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴一共有2个交点．故答案为2．点评：本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，分别令x=0，y=0，将抛物线转化为方程是解题的关键．13．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是．考点：根与系数的关系．专题：常规题型；压轴题．分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=﹣5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．解答：解：∵a，b是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=﹣5，+ = = =﹣ ．故答案是：﹣ ．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．14．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x﹣3．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题．分析：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行20m才能停下来．考点：二次函数的应用．分析：由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．解答：解：依题意：该函数关系式化简为S=﹣5（t﹣2）2+20，当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．点评：本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．16．三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是6或12或10．考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，进行分情况计算．解答：解：由方程x2﹣6x+8=0，得x=2或4．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．综上所述此三角形的周长是6或12或10．点评：本题一定要注意判断是否能构成三角形的三边．三、解答题（共8个小题、共72分）17．（16分）用适当的方法解方程：（1）x2﹣2x﹣3=0；__________（2）x2﹣3x﹣1=0；（3）x（2x+3）=4x+6；（4）（2x+3）2=x2﹣6x+9．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（4）运用完全平方公式，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0，x+1=0，x1=3，x2=﹣1；__________（2）x2﹣3x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=1 3，x= ，x1= ，x2= ；（3）x（2x+3）=4x+6，x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，（2x+3）（x﹣2）=0，2x+ 3=0，x﹣2=0，x1=﹣ ，x2=2；（4）（2x+3） 2=x2﹣6x+9．（2x+3）2=（x﹣3）2，2x+3=x﹣3，2x+3=﹣（x﹣3），x1=﹣6，x2=0．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．18．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）求它与x轴的交点；（3）画出这个二次函数图象的草图．考点：二次函数的性质；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．分析：（1）已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，写出顶点坐标和对称轴；（2）令y=0，求得方程的解，得出与x轴的交点；（3）顶点坐标、对称轴和与x轴的交点画出图象．解答：解：（1）y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴x=﹣1；（2）令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（﹣3，0）（3）画出函数的图象如图：点评：题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=﹣3和k=﹣2．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根，再根据两根之和求出k则可．解答：解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1=﹣6，∴x1=﹣3．由韦达定理：﹣3+2=k+1，∴k=﹣2．当k=﹣2时，△＞0，k=﹣2．点评：本题考查了韦达定理（即根与系数的关系）的应用，注意这个定理的应用条件，在求出k的值以后要检验一下方程是否有解．因为定理应用的条件是原方程有解．20．已知：抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．考点：二次函数综合题．专题：代数综合题．分析：（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．解答：证明：（1）令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0①∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）令：x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+4解得m=﹣1+ 或﹣1﹣ ．（说明：少一个解扣2分）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式的关系．21．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：等量关系为：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．解答：解：设小正方形的边长为xcm，由题意得10×8﹣4x2=80%×10×8，80﹣4x2=64，4x2=16，x2=4．解得：x1=2，x2=﹣2，经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；所以x=2．答：截去的小正方形的边长为2cm．点评：读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去．22．如图，已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣ +bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=﹣ +4x﹣6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣ =4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6．点评：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2023元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）本题的关键语“每件降价1元时，平均每天可多卖出2件”，设每件应降价x元，用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利2023元来列出方程；（2）根据（1）中的方程，然后按一元二次方程的特点，来求出最大值．解答：解：（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40﹣x）?（30+2x）=2023，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意，不降价也能盈利2023元，符合题意．因为要减少库存，所以应降价25元．答：每件衬衫应降价25元；（2）设商场每天盈利为W元．W=（40﹣x）（30+2x）=﹣2x2+50x+2023=﹣2（x2﹣25x）+2023=﹣2（x﹣12.5）2+2023.5．当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为2023.5元．点评：本题要读清题意，根据题目给出的关键语来列出方程．24．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．（1）直接写出点C、D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．分析：（1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标；（2）利用D点坐标得出△ABD的面积；（3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标．解答：解：（1）当x=0，则y=﹣3，故C（0，﹣3），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，故D（1，﹣4）；（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），∴AB=4，∴S△ABD= ×4×4=8；（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的，∴S△ABP=4，∵AB=4，∴P点纵坐标为2或﹣2，当P点纵坐标为2，则2=x2﹣2x﹣3，解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ，此时P点坐标为：（1+ ，2）或（1﹣ ，2），当P点纵坐标为﹣2，则﹣2=x2﹣2x﹣3，解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ，此时P点坐标为：（1+ ，﹣2）或（1﹣ ，﹣2），综上所述：点P的坐标为：（1+ ，2）、（1﹣ ，2）、（1+ ，﹣2）、（1﹣ ，﹣2）．点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．

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曲靖市2023初三年级上册数学期中综合试卷(含答案解析)