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meili 发表于 2022-10-14 16:01:59

北师大版2023初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)

北师大版2023初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)第一章直角三角形的边角关系检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：A.B.C.D.2.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B （）A．B．C．D．3.点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A. B.C. D.4.在△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC,点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD,则tan∠DBC的值为（）A.B. -1C.2-D.5.在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是() A.2B.C.D.6.已知在中，，则的值为（）A. B.C. D.7.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为()A.5 mB.2 m C.4 m D. m8.如图，在菱形中，，，，则tan∠ 的值是（）A．B．2C．D．9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A. 5 B. C. 7 D.10.某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A.1 200 m B.1 200 mC. 1 200 mD.2 400 m二、填空题（每小题3分，共24分）11.有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米．12.有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，）14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．15.如图，已知Rt△ 中，斜边上的高，，则 ________.16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _．17. ①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD＝15 cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).①②18.如图，在四边形中，，，，，则 __________.三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：(1) ；（2） .20.（7分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1 m)21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?（参考数据： )22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（取 ≈1.732，结果精确到1 m）23.（8分）已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处（即∠ ，米），测得A的仰角为，求山的高度AB．24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？25.（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值.26.（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）北师大版2023初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)参考答案一、选择题1.C解析：2.C解析：设，则，，则，所以△ 是直角三角形，且∠ ．所以在Rt△ABC中，．3.Ｃ解析：在Rt△BCD中，，故A项正确；在Rt△ABC中，，故B项正确；，，，，故D项正确；而，故C项错误.4.A解析：根据题意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,设DE=CE=x，则CD= x，AC=AB=2 x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根据锐角三角函数，在Rt△DBE中，tan∠DBE= = = ，即tan∠DBC= .5.D解析：如图所示，连接AC，则AC ， 2；AB 2 ， 8； BC ， 10.∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，∴ tan∠ABC .6.A解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B.7.B解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以 29.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D解析：根据题意，得∠B= =30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AB=2AC.∵ AC=1 200 m，∴ AB=2 400 m.故选D.二、填空题11.10解析：如图，过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10（米）.12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器求出的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为，所以所以所以 ).14.15°或75°解析：如图， .在图①中，，所以∠ ∠ ；在图②中，，所以∠ ∠ .15.解析：在Rt△ 中，∵ ，∴ sin B= ，．在Rt△ 中，∵ ，sin B= ，∴ ．在Rt△ 中，∵ ， ∴ ．16.解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE= ∠CBD=20°.在Rt△BCE中，cos∠CBE= ，∴ BE=BC?cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）18. 解析：如图，延长、交于点，∵ ∠ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．三、解答题19.解：（1）（2）20.解：∵ ∠ 90°, ∠ 45°，∴∵ ，∴则 m，∵ ∠ 35°，∴ tan∠ tan 35° .整理，得 ≈10.5.故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知， m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan 30°＝，∴ ，即3x (x＋100)，解得x 50＋50 .经检验， 50＋50 是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为23.解:如图，过点D分别作 ⊥ 于点， ⊥ 于点，在Rt△ 中， ∠ ，米，所以（米），（米）.在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设米，则（米）.在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB中， ∠ ，∴ ，即，∴ ， ∴ 米．24.解：由原题左图可知：BE⊥DC， m， .在Rt△BEC中，（m）.由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．，解得＝80（m）.∴ 改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：（1）∵ CD是斜边AB上的中线，∴ CD=BD,∴ ∠B＝∠DCB.∵ ∠ACB＝90°，AE⊥CD，∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE.∵ AH＝2CH，∴ sin B=sin∠CAE= = ＝ .（2）∵ CD= ，∴ AB=2 .∴ BC=2 ?cos B=4，AC=2 ?sin B=2,∴ CE=AC?tan∠CAE=1,∴ BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.26.分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a（海里）.在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，∴ AC= = =2a（海里），CE=AE?tan 60°= a（海里）.在Rt△BCE中，BE=CE，∴ 100( +1)-a= a，∴ a=100（海里）.∴ AC=2a=200（海里）.在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC，∴ △ACD∽△ABC，∴ = ,即 = .∴ AD=200( -1)(海里).答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F.在Rt△ADF中，∠DAF=60°，∴ DF=AD?sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈202300.∴ 船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.北师大版2023初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)参考答案及评分标准一、选择题1.C解析：2.C解析：设，则，，则，所以△ 是直角三角形，且∠ ．所以在Rt△ABC中，．3.Ｃ解析：在Rt△BCD中，，故A项正确；在Rt△ABC中，，故B项正确；，，，，故D项正确；而，故C项错误.4.A解析：根据题意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,设DE=CE=x，则CD= x，AC=AB=2 x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根据锐角三角函数，在Rt△DBE中，tan∠DBE= = = ，即tan∠DBC= .5.D解析：如图所示，连接AC，则AC ， 2；AB 2 ， 8； BC ， 10.∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，∴ tan∠ABC .6.A解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B.7.B解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以 29.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D解析：根据题意，得∠B= =30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AB=2AC.∵ AC=1 200 m，∴ AB=2 400 m.故选D.二、填空题11.10解析：如图，过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10（米）.12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器求出的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为，所以所以所以 ).14.15°或75°解析：如图， .在图①中，，所以∠ ∠ ；在图②中，，所以∠ ∠ .15.解析：在Rt△ 中，∵ ，∴ sin B= ，．在Rt△ 中，∵ ，sin B= ，∴ ．在Rt△ 中，∵ ， ∴ ．16.解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE= ∠CBD=20°.在Rt△BCE中，cos∠CBE= ，∴ BE=BC?cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）.18. 解析：如图，延长、交于点，∵ ∠ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．三、解答题19.解：（1）（2）20.解：∵ ∠ 90°, ∠ 45°，∴∵ ，∴则 m，∵ ∠ 35°，∴ tan∠ tan 35° .整理，得 ≈10.5.故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知， m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan 30°＝，∴ ，即3x (x＋100)，解得x 50＋50 .经检验， 50＋50 是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为23.解:如图，过点D分别作 ⊥ 于点， ⊥ 于点，在Rt△ 中， ∠ ，米，所以（米），（米）.在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设米，则（米）.在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB中， ∠ ，∴ ，即，∴ ， ∴ 米．24.解：由原题左图可知：BE⊥DC， m， .在Rt△BEC中，（m）.由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．，解得＝80（m）.∴ 改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：（1）∵ CD是斜边AB上的中线，∴ CD=BD,∴ ∠B＝∠DCB.∵ ∠ACB＝90°，AE⊥CD，∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE.∵ AH＝2CH，∴ sin B=sin∠CAE= = ＝ .（2）∵ CD= ，∴ AB=2 .∴ BC=2 ?cos B=4，AC=2 ?sin B=2,∴ CE=AC?tan∠CAE=1,∴ BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.26.分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a（海里）.在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，∴ AC= = =2a（海里），CE=AE?tan 60°= a（海里）.在Rt△BCE中，BE=CE，∴ 100( +1)-a= a，∴ a=100（海里）.∴ AC=2a=200（海里）.在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC，∴ △ACD∽△ABC，∴ = ,即 = .∴ AD=200( -1)(海里).答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F.在Rt△ADF中，∠DAF=60°，∴ DF=AD?sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈202300.∴ 船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.

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