第五章分式与分式方程讲义及中考题（北师大版）
<p>一 认识分式</p><p>知识点一 分式的概念</p><p>1、分式的概念</p><p>从形式上来看，它应满足两个条件：</p><p>（1）写成的形式（A、B表示两个整式)</p><p>（2）分母中含有</p><p>这两个条件缺一不可</p><p>2、分式的意义</p><p>（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是</p><p>（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是</p><p>（3）要使分式的值为0， 需具备的条件是</p><p>知识点二、分式的基本性质</p><p>分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个</p><p>分式的值不变</p><p>用字母表示为 = （其中M是不等于零的整式）</p><p>知识点三、分式的约分</p><p>1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分</p><p>2、依据：分式的基本性质</p><p>注意：（1）约分的关键是正确找出分子与分母的公因式</p><p>（2）当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。</p><p>（3）要会把互为相反数的因式进行变形，如：（x--y）2=（y--2)2</p><p>二、分式的乘除法</p><p>【巩固训练】</p><p>1、(2023四川成都)要使分式 有意义，则x的取值范围是()</p><p>(A)x≠1(B)x＞1(C)x＜1(D)x≠－1</p><p>2、（2023深圳）分式 的值为0，则 的取值是</p><p>A．B．C．D．</p><p>3、（2023湖南郴州）函数y= 中自变量x的取值范围是（）</p><p>A． x＞3 B． x＜3 C． x≠3 D． x≠﹣3</p><p>4．（2023湖南娄底，7，3分）式子 有意义的x的取值范围是（）</p><p>A． x≥﹣ 且x≠1 B． x≠1</p><p>C．</p><p>5．（2023贵州省黔西南州，2，4分）分式 的值为零，则x的值为（）</p><p>A． ﹣1 B． 0 C． ±1 D． 1</p><p>6．（2023广西钦州）当x=时，分式 无意义．</p><p>7、（2023江苏南京）使式子1? 1 x?1 有意义的x的取值范围是。</p><p>8、（2023黑龙江省哈尔滨市）在函数 中，自变量x的取值范围是．</p><p>9、 （2023江苏扬州）已知关于 的方程 =2的解是负数，则 的取值范围为．</p><p>10、（2023湖南益阳）化简： = ．</p><p>11、（2023山东临沂，6，3分）化简 的结果是（）</p><p>A．B．</p><p>C．D．</p><p>12、 （2023湖南益阳）化简： = ．</p><p>13、（2023湖南郴州）化简 的结果为（）</p><p>A． ﹣1 B． 1 C．D．</p><p>14、（2023湖北省咸宁市）化简 + 的结果为x．</p><p>15、（2023?泰安）化简分式 的结果是（）</p><p>A．2B．C．D．－2</p><p>考点：分式的混合运算．</p><p>分析：这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．</p><p>16（2023年四川乐山）．若 为正实数，且 ， =</p><p>17（2023重庆市(A)）分式方程 的根是（）</p><p>A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2</p><p>18、（2023湖南益阳）分式方程 的解是（）</p><p>A．x =B．x = C．x = D．x =</p><p>19、（2023白银）分式方程 的解是（）</p><p>A． x=﹣2 B． x=1 C． x=2 D． x=3</p><p>20、（2023江苏扬州）已知关于 的方程 =2的解是负数，则 的取值范围为．</p><p>【答案】 且 ．</p><p>21．（2023山东临沂）分式方程 的解是_________________．</p><p>22. （2023广东省）从三个代数式：① ，② ，③ 中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值．</p><p>23、（2023湖北孝感，19，6分）先化简，再求值： ，其中 ， ．</p><p>考点： 分式的化简求值；二次根式的化简求值．</p><p>24．（2023江苏苏州，21，5分）先化简，再求值： ，其中x＝ －2．</p><p>25．（2023贵州安顺，20，10分）先化简，再求值： ，其中a= －1.6．（2023山东德州,18,6分）先化简，再求值：</p><p>，其中a= －1.</p><p>26、．（2023湖南永州，19，6分）先化简，再求值: ，</p><p>【思路分析】先化简，再求值。</p><p>【解】原式=</p><p>=</p><p>=x－1</p><p>把x=2代入x－1=2－1=1</p><p>【方法指导】分式化简及求值的一般过程：</p><p>（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；</p><p>（2）除法变为乘法；</p><p>（3）分子分母能因式分解进行分解；</p><p>（4）约分；</p><p>（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母，②分子合并同类项；</p><p>（6）代入数字求代数的值.(代值过程中要注意使分式有意义，即所代值不能使</p><p>分母为零)</p><p>27．（2023广东珠海，12，6分）解方程： ．</p><p>28、.（2023年陕西）（本题满分5分）</p><p>解分式方程： .</p><p>29．（2023山东日照，9，4分）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是</p><p>A.8B.7 C.6 D.5</p><p>【答案】A</p><p>【解析】设甲计划完成此项工作的天数为x，由题意可得，</p><p>经检验x=8是原方程的根，且符合题意。</p><p>30、（2023深圳，8，3分）小朱要到距家2023米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱的速度是 米/分，则根据题意所列方程正确的是</p><p>A．B．</p><p>C．D．</p><p>31．（2023河北省，7，3分）甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是</p><p>A．120x＝100x－10 B．120x＝100x+10</p><p>C．120x－10＝100xD．120x+10＝100x</p><p>32（2023江苏扬州，24，10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况：</p><p>（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为2023元，我们班人数比你们班多8人．”</p><p>（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为2023元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．”</p><p>请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．</p><p>33（2023贵州安顺，21，10分）</p><p>某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程。求原计划完成这一工程的时间是多少个月？</p>
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