郑州市2023初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)
<p>郑州市2023初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)</p><p>一、选择题（每小题3分，共24分）</p><p>1．（3分） 的算术平方根是（）</p><p>A． 4 B． 2 C．D． ±2</p><p>2．（3分）在﹣2，0，3， 这四个数中，最大的数是（）</p><p>A． ﹣2 B． 0 C． 3 D．</p><p>3．（3分）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）</p><p>A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°</p><p>4．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）</p><p>A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限</p><p>5．（3分）若方程mx+ny=6的两个解是 ， ，则m，n的值为（）</p><p>A． 4，2 B． 2，4 C． ﹣4，﹣2 D． ﹣2，﹣4</p><p>6．（3分）为了解某社区居民的用电情况，随机对 该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2023年4月份用电量的调查结果：</p><p>居民（户） 1 3 2 4</p><p>月用电量（度/户） 40 50 55 60</p><p>那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）</p><p>A． 中位数是55 B． 众数是60 C． 方差是29 D． 平均数是54</p><p>7．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）</p><p>A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1， ，3</p><p>8．（3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）</p><p>A． 体育场离张强家2.5千米</p><p>B． 张强在体育场锻炼了15分钟</p><p>C． 体育场离早餐店4千米</p><p>D． 张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时</p><p>二、选择题（每小题3分，共21分）</p><p>9．（3分）计算：（ +1）（ ﹣1）=．</p><p>10．（3分）命题“相等的角是对顶角”是命题（ 填“真”或“假”）．</p><p>11．（3分）若 +（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为．</p><p>12．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．</p><p>13．（3分）按如图的运算程序，请写出一组能使输出结果为3的x，y的值：．</p><p>14．（3分）已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），则二元一次方程组 的解是．</p><p>15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ ，0），B（ ，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．</p><p>三、解答题（共55分）</p><p>16．（6分）证明三角形内角和定理</p><p>三角形内角和定理内容：三角形三个内角和是180°．</p><p>已知：</p><p>求证：</p><p>证明：</p><p>17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，</p><p>（1）B点关于y轴的对称点坐标为；</p><p>（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；</p><p>（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．</p><p>18．（6分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？</p><p>19．（9分）九（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表</p><p>参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数</p><p>A 19 0 1</p><p>B 17 2 1</p><p>C 15 2 3</p><p>D 17 1 2</p><p>E / / 7</p><p>（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；</p><p>（2）最后获知ABCDE五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．</p><p>①求E同学的答对题数和答错题数；</p><p>②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答 题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）</p><p>20．（8分）如图1，A，B，C是郑州市二七区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=40米．八位环卫工人分别测得的BC长度如下表：</p><p>甲 乙 丙 丁 戊 戌 申 辰</p><p>BC（单位：米） 84 76 78 82 70 84 86 80</p><p>他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：</p><p>（1）求表中BC长度的平均数 、中位数、众数；</p><p>（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；</p><p>（3）用（1）中的 作为BC的长度，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注： =1.732）</p><p>21．（10分）观察下列各式及其验证过程： ，验证： ． ，验证： ．</p><p>（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证．</p><p>（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．</p><p>（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．</p><p>22．（10分）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：</p><p>（1）填空：乙的速度v2=米/分；</p><p>（2）写出d1与t的函数关系式：</p><p>（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？</p><p>郑州市2023初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)参考答案与试题解析</p><p>一、选择题（每小题3分，共24分）</p><p>1．（3分） 的算术平方根是（）</p><p>A． 4 B． 2 C．D． ±2</p><p>考点： 算术平方根．</p><p>分析： 先求出 =2，再根据算术平方根的定义解答．</p><p>解答： 解：∵ =2，</p><p>∴ 的算术平方根是 ．</p><p>故选C．</p><p>点评： 本题考查了算术平方根的定义，易错题，熟记概念是解题的关键．</p><p>2．（3分）在﹣2，0，3， 这四个数中，最大的数是（）</p><p>A． ﹣2 B． 0 C． 3 D．</p><p>考点： 实数大小比较．</p><p>专题： 常规题型．</p><p>分析： 根据正数大于0，0大于负数，可得答案．</p><p>解答： 解：﹣2＜0＜ ＜3，</p><p>故选：C．</p><p>点评： 本题考查了实数比较大小， 是解题关键．</p><p>3．（3分）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）</p><p>A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°</p><p>考点： 平行线的性质；直角三角形的性质．</p><p>专题： 几何图形问题．</p><p>分析： 根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．</p><p>解答： 解：如图，</p><p>∵直线a∥b，</p><p>∴∠3=∠1=60°．</p><p>∵AC⊥AB，</p><p>∴∠3+∠2=90°，</p><p>∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，</p><p>故选：D．</p><p>点评： 本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．</p><p>4．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）</p><p>A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限</p><p>考点： 一次函数图象与系数的关系．</p><p>专题： 数形结合．</p><p>分析： 先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．</p><p>解答： 解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，</p><p>∴图象过第一、二、四象限，</p><p>∴图象不经过第三象限．</p><p>故选：C．</p><p>点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过第二、四象限，当b＞0时，函数图象与y轴相交于正半轴．</p><p>5．（3分）若方程mx+ny=6的两个解是 ， ，则m，n的值为（）</p><p>A． 4，2 B． 2，4 C． ﹣4，﹣2 D． ﹣2，﹣4</p><p>考点： 二元一次方程的解．</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 将x与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．</p><p>解答： 解：将 ， 分别代入mx+ny=6中，</p><p>得： ，</p><p>①+②得：3m=12，即m=4，</p><p>将m=4代入①得：n=2，</p><p>故选：A</p><p>点评： 此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．</p><p>6．（3分）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2023年4月份用电量的调查结果：</p><p>居民（户） 1 3 2 4</p><p>月用电量（度/户） 40 50 55 60</p><p>那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）</p><p>A． 中位数是55 B． 众数是60 C． 方差是29 D． 平均数是54</p><p>考点： 方差；加权平均数；中位数；众数．</p><p>专题： 常规题型．</p><p>分析： 根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否．</p><p>解答： 解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．</p><p>A、月用电量的中位数是55度，故A正确；</p><p>B、用电量的 众数是60度，故B正确；</p><p>C、用电量的方差是39度，故C错误；</p><p>D、用电量的平均数是54度，故D正确．</p><p>故选：C．</p><p>点评： 考查了中位数、众数、平均 数和方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．</p><p>7．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）</p><p>A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1， ，3</p><p>考点： 勾股定理的逆定理．</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证 两小边的平方和等于最长边的平方即可．</p><p>解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；</p><p>B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；</p><p>C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；</p><p>D、12+（ ）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．</p><p>故选：B．</p><p>点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．</p><p>8．（3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）</p><p>A． 体育场离张强家2.5千米</p><p>B． 张强在体育场锻炼了15分钟</p><p>C． 体育场离早餐店4千米</p><p>D． 张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时</p><p>考点： 函数的图象．</p><p>专题： 行程问题．</p><p>分析： 结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5千米；平均速度=总路程÷总时间．</p><p>解答： 解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；</p><p>B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15=15（分钟），故B选项正确；</p><p>C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5=1（千米），故C选项错误；</p><p>D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65=30（分钟），距离为1.5km，</p><p>∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故D选项正确．</p><p>故选：C．</p><p>点评： 此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．</p><p>二、选择题（每小题3分，共21分）</p><p>9．（3分）计算：（ +1）（ ﹣1）=1．</p><p>考点： 二次根式的乘除法；平方差公式．</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．</p><p>解答： 解：（ +1）（ ﹣1）= ．</p><p>故答案为：1．</p><p>点评： 本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．</p><p>10．（3分）命题“相等的角是对顶角”是假命题（填“真”或“假”）．</p><p>考点： 命题与定理．</p><p>分析： 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．</p><p>解答： 解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，</p><p>从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．</p><p>故答案为：假．</p><p>点评： 此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．</p><p>11．（3分）若 +（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）．</p><p>考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 先求出a与b的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出M的对称点的坐标．</p><p>解答： 解：∵ +（b+2）2=0，</p><p>∴a=3，b=﹣2；</p><p>∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）．</p><p>点评： 本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，也考查了非负数的性质．</p><p>12．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．</p><p>考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 根据三角形三内角之和等于180°求解．</p><p>解答： 解：如图．</p><p>∵∠3=60°，∠4=45°，</p><p>∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．</p><p>故答案为：75．</p><p>点评： 考查三角形内角之和等于180°．</p><p>13．（3分）按如图的运算程序，请写出一组能使输出结果为3的x，y的值：x=1，y=﹣1．</p><p>考点： 解二元一次方程．</p><p>专题： 图表型．</p><p>分析： 根据运算程序列出方程，取方程的一组正整数解即可．</p><p>解答： 解：根据题意得：2x﹣y=3，</p><p>当x=1时，y=﹣1．</p><p>故答案为：x=1，y=﹣1．</p><p>点评： 此题考查了解二元一次方程，弄清题中的运算程序是解本题的关键．</p><p>14．（3分）已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），则二元一次方程组 的解是 ．</p><p>考点： 一次函数与二元一次方程（组）．</p><p>分析： 函数图象的交点坐标即是方程组的解，有几个交点，就有几组解．</p><p>解答： 解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），</p><p>∴点P（﹣4，﹣2），满足二元一次方程组 ；</p><p>∴方程组的解是 ．</p><p>故答案为： ．</p><p>点评： 本题不用解答，关键是理解两个函数图象的交点即是两个函数组成方程组的解．</p><p>15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ ，0），B（ ，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．</p><p>考点： 勾股定理；坐标与图形性质．</p><p>专题： 压轴题；分类讨论．</p><p>分析： 需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．</p><p>解答： 解：如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）．</p><p>则 + =6，解得，b=2或b=﹣2，</p><p>此时C（0，2），或C（0，﹣2）．</p><p>如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）．</p><p>则|﹣ ﹣a|+|a﹣ |=6，即2a=6或﹣2a=6，</p><p>解得a=3或a=﹣3，</p><p>此时C（﹣3，0），或C（3，0）．</p><p>综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．</p><p>故答案是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．</p><p>点评： 本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．</p><p>三、解答题（共55分）</p><p>16．（6分）证明三角形内角和定理</p><p>三角形内角和定理内容：三角形三个内角和是180°．</p><p>已知：</p><p>求证：</p><p>证明：</p><p>考点： 三角形内角和定理．</p><p>专题： 证明题．</p><p>分析： 先写出已知、证明，过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，利用平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根据平角的定义进行证明．</p><p>解答： 已知：△ABC，如图，</p><p>求证：∠A+∠B+∠C=180°，</p><p>证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图，</p><p>∵CD∥AB，</p><p>∴∠1=∠A，∠2=∠ B，</p><p>∵∠C+∠1+∠2=180°，</p><p>∴∠A+∠B+∠C=180°．</p><p>点评： 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键时把三角形三个角的和转化为一个平角，同时注意文字题证明的步骤书写．</p><p>17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，</p><p>（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；</p><p>（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；</p><p>（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．</p><p>考点： 作图-平移变换；关于x 轴、y轴对称的点的坐标．</p><p>专题： 作图题．</p><p>分析： （1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；</p><p>（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；</p><p>（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．</p><p>解答： 解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；</p><p>（2）△A1O1B1如图所示；</p><p>（3）A1的坐标为（﹣2，3）．</p><p>故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．</p><p>点评： 本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．</p><p>18．（6分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？</p><p>考点： 平面展开-最短路径问题．</p><p>分析： 根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．</p><p>解答： 解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，</p><p>∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，</p><p>∴AB= =25（尺）．</p><p>答：葛藤长为25尺．</p><p>点评： 本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．</p><p>19．（9分）九（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表</p><p>参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数</p><p>A 19 0 1</p><p>B 17 2 1</p><p>C 15 2 3</p><p>D 17 1 2</p><p>E / / 7</p><p>（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；</p><p>（2）最后获知ABCDE五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．</p><p>①求E同学的答对题数和答错题数；</p><p>②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）</p><p>考点： 算术平均数；统计表．</p><p>分析： （1）直接算出A，B，C，D四位同学成绩的总成绩，再进一步求得平均数即可；</p><p>（2）①设E同学答对x题，答错y题，根据对错共20﹣7=13和总共得分58列出方程组成方程组即可；</p><p>②根据表格分别算出每一个人的总成绩，与实际成绩对比：A为19×5=95分正确，B为17×5+2×（﹣2）=81分正确，C为15×5+2×（﹣2）=71错误，D为 17×5+1×（﹣2）=83正确，E正确；所以错误的是C，多算7分，也就是答对的少一题，打错的多一题，由此得出答案即可．</p><p>解答： 解：（1） = [（19+17+15+17）×5+（2+2+1）×（﹣2）]=82.5（分），</p><p>答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分是82.5分；</p><p>（2）①设E同学答对x题，答错y题，由题意得</p><p>，</p><p>解得 ，</p><p>答：E同学答对12题，答错1题；</p><p>②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．</p><p>点评： 此题考查加权平均数的求法，二元一次方程组的实际运用，以及有理数的混合运算等知识，注意理解题意，正确列式解答．</p><p>20．（8分）如图1，A，B，C是郑州市二七区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=40米．八位环卫工人分别 测得的BC长度如下表：</p><p>甲 乙 丙 丁 戊 戌 申 辰</p><p>BC（单位：米） 84 76 78 82 70 84 86 80</p><p>他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：</p><p>（1）求表中BC长度的平均数 、中位数、众数；</p><p>（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；</p><p>（3）用（1）中的 作为BC的长度，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注： =1.732）</p><p>考点： 条形统计图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．</p><p>分析： （1）利用平均数求法进而得出答案；</p><p>（2）利用扇形统计图以及条形统计图可得出C处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出A处垃圾量；</p><p>（3）利用锐角三角函数得出AB的长，进而得出运垃圾所需的费用．</p><p>解答： 解：（1） = =80（米），</p><p>众数是：84米，中位数是：82米；</p><p>（2）∵C处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%，</p><p>∴垃圾总量为 ：320÷50%=640（千克），</p><p>∴A处垃圾存放量为：（1﹣50%﹣37.5%）×640=80（kg），占12.5%．</p><p>补全条形图如下：</p><p>（2）垃圾总量是：320÷50%=640（千克），</p><p>则A处的垃圾量是：640×（1﹣50%﹣37.5%）=80（千克），</p><p>（3）在直角△ABC中，AB= = =40 =69.28（米）．</p><p>∵运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，</p><p>∴运垃圾所需的费用为：69.28×80×0.005≈27（元），</p><p>答：运垃圾所需的费用为27元．</p><p>点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．</p><p>21．（10分）观察下列各式及其验证过程： ，验证： ． ，验证： ．</p><p>（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证．</p><p>（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．</p><p>（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．</p><p>考点： 二次根式的性质与化简．</p><p>专题： 规律型．</p><p>分析： （1）利用已知，观察 ． ，可得 的值；</p><p>（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；</p><p>（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．</p><p>解答： 解：（1） =4 ，</p><p>理由是： = = =4 ；</p><p>（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，</p><p>∴ =a ，</p><p>验证： = =a ；正确；</p><p>（3） =a （a为任意自然数，且a≥2），</p><p>验证： = = =a ．</p><p>点评： 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．</p><p>22．（10分）某学校开展“青少年科技创新比赛” 活动 ，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：</p><p>（1）填空：乙的速度v2=40米/分；</p><p>（2）写出d1与t的函数关系式：</p><p>（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？</p><p>考点： 一次函数的应用．</p><p>专题： 行程问题．</p><p>分析： （1）根据路程与时间的关系，可得答案；</p><p>（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；</p><p>（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．</p><p>解答： 解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），</p><p>故答案为：40；</p><p>（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），</p><p>60÷60=1（分钟），a=1，</p><p>d1= ；</p><p>（3）d2=40t，</p><p>当0≤t＜1时，d2+d1＞10，</p><p>即﹣60t+60+40t＞10，</p><p>解得0≤t＜2.5，</p><p>∵0≤t＜1，</p><p>∴当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；</p><p>当1≤t≤3时，d2﹣d1＞10，</p><p>即40t﹣（60t﹣60）＞10，</p><p>当1≤ 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰</p><p>综上所述：当0≤t＜2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．</p><p>点评： 本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t＜1时，d2﹣d1＞10；当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，分类讨论是解题关键．</p>
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