华师大版2023初二数学下册期中矩形测试题(含答案解析)
<p>华师大版2023初二数学下册期中矩形测试题(含答案解析)</p><p>一．选择题（共8小题）</p><p>1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：</p><p>①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．</p><p>则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）</p><p>A．①②③B．②③④ C．②⑤⑥D．④⑤⑥</p><p>2．对角线互相平分且相等的四边形是（）</p><p>A．菱形B．矩形C．正方形 D．等腰梯形</p><p>3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）</p><p>A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等</p><p>4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）</p><p>[</p><p>A．AB=CDB．AD=BCC．AC=BDD．AB=BC</p><p>5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）</p><p>A．平行四边形B．矩形 C．菱形D．正方形</p><p>6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则?ABCD一定是（）</p><p>A．菱形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形</p><p>7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）</p><p>A．AB=BC B．AC⊥BDC．∠ABC=90° D．∠1=∠2</p><p>8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）</p><p>A．AC=BDB．AC⊥BD C．AC=BD且AC⊥BDD．AB=AD</p><p>二．填空题（共7小题）</p><p>9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_________（只填一个）．</p><p>10．对角线 _________的平行四边形是矩形．</p><p>11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是_________．（填上你认为正确的一个答案即可）</p><p>12．如图，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_________（只添一个即可），使?ABCD是矩形．</p><p>13．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件_________，可使它成为矩形．</p><p>14．如图所示，已知?ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有（填写序号）_________．</p><p>15．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_________度时，四边形ABFE为矩形．</p><p>三．解答题（共7小题）</p><p>16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．</p><p>（1）求证：△AEF≌△BED．</p><p>（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．</p><p>17．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．</p><p>（1）求证：BD=CD；</p><p>（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．</p><p>18．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．</p><p>（1）求证：OE=OD；</p><p>（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．</p><p>19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．</p><p>20．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．</p><p>（1）求证：△ABF≌△ECF；</p><p>（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．</p><p>21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BF的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．</p><p>22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．</p><p>（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；</p><p>（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．</p><p>华师大版2023初二数学下册期中矩形测试题(含答案解析)参考答案与试题解析</p><p>一．选择题（共8小题）</p><p>1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：</p><p>①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．</p><p>则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）</p><p>A． ①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D． ④⑤⑥</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．</p><p>解答： 解：A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边 形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；</p><p>B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；</p><p>C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；</p><p>D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；</p><p>故选：C．</p><p>点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．</p><p>2．对角线互相平分且相等的四边形是（）</p><p>A． 菱形 B．矩形 C．正方形 D． 等腰梯形</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．</p><p>解答： 解：</p><p>∵OA=OC，OB=OD，</p><p>∴四边形ABCD是平行四边形，</p><p>∵AC=BD，</p><p>∴平行四边形ABCD是矩形．</p><p>故选B．</p><p>点评： 本题考查了矩形和平行四边形的判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度不大．</p><p>3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）</p><p>A． 对角线互相平分 B． 对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直 D． 对角线互相平分且相等</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．</p><p>解 答： 解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故此选项错误；</p><p>B、对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故此选项错误；</p><p>C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故此选项错误；</p><p>D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确；</p><p>故选：D．</p><p>点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法．</p><p>4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）</p><p>A． AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D． AB=BC</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>专题： 存在型．</p><p>分析： 四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．</p><p>解答： 解：可添加AC=BD，</p><p>∵四边形ABCD的对角线互相平分，</p><p>∴四边形ABCD是平行四边形，</p><p>∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，</p><p>∴四边形ABCD是矩形，</p><p>故选：C．</p><p>点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：</p><p>①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；</p><p>②有三个角是直角的四边形是矩形；</p><p>③对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）</p><p>A． 平行四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形</p><p>考点： 矩形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．</p><p>解答： 解：</p><p>在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，</p><p>则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，</p><p>又因为对角线AC⊥BD，</p><p>所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF⊥FH，FH ⊥HG，</p><p>根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．</p><p>故选B．</p><p>点评： 本题考查矩形的判定，根据中位线定理判定邻边垂直，并掌握根据矩形定义判定矩形的方法．</p><p>6．平行四边形ABCD的两条对角 线相等，则?ABCD一定是（）</p><p>A． 菱形 B．矩形 C．正方形 D． 等腰梯形</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题．</p><p>分析： 对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>解答： 解：对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>故选B．</p><p>点评： 本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．</p><p>7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）</p><p>A． AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D． ∠1=∠2</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．</p><p>解答： 解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；</p><p>B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；</p><p>C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；</p><p>D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．</p><p>故选C．</p><p>点评： 本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．</p><p>8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）</p><p>A． AC=BD B．AC⊥BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AB=AD</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>分析： 矩形的判定定理有：</p><p>（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；</p><p>（2）有三个角是直角的四边形是矩形；</p><p>（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此分析判断．</p><p>解答： 解：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．</p><p>故选A．</p><p>点评： 本题用到的知识点为：对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>二．填空题（共7小题）</p><p>9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．</p><p>考点： 矩形的判定；平行 四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 开放型．</p><p>分析： 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．</p><p>解答： 解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形</p><p>故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．</p><p>故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．</p><p>点评： 本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．</p><p>10．对角线 相等的平行四边形是矩形．</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>分析： 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>解答： 解：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，</p><p>故填“相等”．</p><p>点评： 本题考查的是矩形的判定定理，常用的有三种：</p><p>①一个角是直角的平行四边形是矩形．</p><p>②三个角是直角的四边形是矩形．</p><p>③对角线相等的平行四边形是矩形．</p><p>11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A=90°．（填上你认为正确的一个答案即可）</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的判定．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题；开放型．</p><p>分析： 根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．</p><p>解答： 解：添加的条件是∠A=90°，</p><p>理由是：∵AB∥DC，AB=DC，</p><p>∴四边形ABCD是平行四边形，</p><p>∵∠A=90°，</p><p>∴平行四边形ABCD是矩形，</p><p>故答案为：∠A=90°．</p><p>点评： 本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．</p><p>12．如图，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD（只添一个即可），使?ABCD是矩形．</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．</p><p>专题： 开放型．</p><p>分析： 根据矩形的判定定理 （对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．</p><p>解答： 解：添加的条件是AC=BD，</p><p>理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，</p><p>∴平行四边形ABCD是矩形，</p><p>故答案为：AC=BD．</p><p>点评： 本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．</p><p>13．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件∠ABC=90°或AC=BD，可使它成为矩形．</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 开放型．</p><p>分析： 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．</p><p>解答： 解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形</p><p>故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．</p><p>故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．</p><p>点评： 此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理 是解题的关键．</p><p>14．如图所示，已知?ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有（填写序号）①④．</p><p>考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>分析： 矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．</p><p>解答： 解：能说明?ABCD是矩形的有：</p><p>①对角线相等的平行四边形是矩形；</p><p>④有一个角是直角的平行四边形是矩形．</p><p>点评： 此题主要考查的是矩形的判定方法．</p><p>15．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到 △FEC，连接AE、BF．当∠ACB为60度时，四边形ABFE为矩形．</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>专题： 计算题．</p><p>分析： 根据矩形的性质和判定．</p><p>解答： 解：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，</p><p>那么AF=BE，AC=BC，</p><p>又因为AC=AB，</p><p>那么三角形ABC是等边三角形，</p><p>所以∠ACB=60°．</p><p>故答案为60．</p><p>点评： 本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．</p><p>三．解答题（共7小题）</p><p>16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．</p><p>（1）求证：△AEF≌△BED．</p><p>（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．</p><p>考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题．</p><p>分析： （1）AAS或ASA证全 等；</p><p>（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．</p><p>解答： 证明：（1）∵AF∥BC，</p><p>∴∠AFE=∠EDB，</p><p>∵E为AB的中点，</p><p>∴EA=EB，</p><p>在△AEF和△BED中，</p><p>，</p><p>∴△AEF≌△BED（ASA）；</p><p>（2）∵△AEF≌△BED，</p><p>∴AF=BD，</p><p>∵AF∥BD，</p><p>∴四边形AFBD是平行四边形，</p><p>∵AB=AC，BD=CD，</p><p>∴AD⊥BD，</p><p>∴四边形AFBD是矩形．</p><p>点评： 本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．</p><p>17.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．</p><p>（1）求证：BD=CD；</p><p>（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．</p><p>考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题；探究型．</p><p>分析： （1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；</p><p>（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．</p><p>解答： 证明：</p><p>（1）∵AF∥BC，</p><p>∴∠AFE=∠DCE，</p><p>∵E是AD的中点，</p><p>∴AE=DE，</p><p>，</p><p>∴△AEF≌△DEC（AAS），</p><p>∴AF=DC，</p><p>∵AF=BD，</p><p>∴BD=CD；</p><p>（2）四边形AFBD是矩形．</p><p>理由：</p><p>∵AB=AC，D是BC的中点，</p><p>∴AD⊥BC，</p><p>∴∠ADB=90°</p><p>∵AF=BD，</p><p>∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，</p><p>∴四边形AFBD是平行四边形，</p><p>又∵∠ADB=90°，</p><p>∴四边形AFBD是矩形．</p><p>点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．</p><p>18．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．</p><p>（1）求证：OE=OD；</p><p>（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．</p><p>考点： 矩形的判定；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 常规题型．</p><p>分析： （1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB=OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE=OD；</p><p>（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．</p><p>解答： 解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线，</p><p>∴∠ABD=∠DBC；</p><p>∵ED∥BC，</p><p>∴∠ODB=∠DBC=∠ABD，</p><p>∴△OBD为等腰三角形，</p><p>∴OB=OD，</p><p>在Rt△EBD中，OB=OD，那么O就是斜边ED的中点．</p><p>∴OE=OD；</p><p>（2）∵四边形BDAE为矩形，</p><p>∴∠AEB为直角，</p><p>△AEB为直角三角形；</p><p>∵四边形BDAE为矩形，</p><p>∴OA=OB=OE=OD，</p><p>∵Rt△AEB中，OE=OA=OB，</p><p>∴O为斜边AB的中点，</p><p>答：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．</p><p>点评： 考查了矩形的判定和等腰三角形的判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质就可解题．</p><p>19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．</p><p>考点： 矩形的判定．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题．</p><p>分析： 先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．</p><p>解答： 证明：∵AD∥BC，DE∥AB，</p><p>∴四边形ABED是平行四边形．</p><p>∴AD=BE．</p><p>∵点E是BC的中点，</p><p>∴EC=BE=AD．</p><p>∴四边形AECD是平行四边形．</p><p>∵AB=AC，点E是BC的中点，</p><p>∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．</p><p>∴?AECD是矩形．</p><p>点评： 本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．</p><p>20．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．</p><p>（1）求证：△ABF≌△ECF；</p><p>（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．</p><p>考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有</p><p>分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；</p><p>（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．</p><p>解答： 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，</p><p>∴∠BAE=∠AEC，</p><p>又∵CE=CD，</p><p>∴AB=CE，</p><p>在△ABF和△ECF中，</p><p>，</p><p>∴△ABF≌△ECF（AAS）；</p><p>（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．</p><p>∵四边 形ABCD是平行四边形，</p><p>∴BC∥AD，∠BCE=∠D，</p><p>由题 意易得AB∥EC，AB∥EC，</p><p>∴四边形ABEC是平行四边形．</p><p>∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，</p><p>∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，</p><p>∴FC=FE，</p><p>∴四边形ABEC是矩形．</p><p>点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．</p><p>21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BF的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．</p><p>考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有</p><p>分析： 因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．</p><p>解答： 答：四边形AFBD是矩形，</p><p>证明：∵AF∥BC，</p><p>∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．</p><p>又∵点E是AD的中点，</p><p>∴AE=DE，</p><p>在△AFE与△DCE中，</p><p>∴△AFE≌△DCE（AAS），</p><p>∴AF=CD，</p><p>又∵AF=BD，</p><p>∴BD=CD．</p><p>又∵AB=AC，</p><p>∴AD⊥BC，</p><p>∴∠ADB=90°，</p><p>∵AF∥BD，AF=BD，</p><p>∴四边形AFBD是平行四边形，</p><p>又∵∠ADB=90°，</p><p>∴四边形AFBD是矩形．</p><p>点评： 本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．</p><p>22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．</p><p>（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；</p><p>（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．</p><p>考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有</p><p>专题： 证明题．</p><p>分析： （1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；</p><p>（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．</p><p>解答： 解：（1）BD=CD．</p><p>理由如下：依题意得AF∥BC，</p><p>∴∠AFE=∠DCE，</p><p>∵E是AD的中点，</p><p>∴AE=DE，</p><p>在△AEF和△DEC中，</p><p>，</p><p>∴△AEF≌△DEC（AAS），</p><p>∴AF=CD，</p><p>∵AF=BD，</p><p>∴BD=CD；</p><p>（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．</p><p>理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，</p><p>∴四边形AFBD是平行四边形，</p><p>∵AB=AC，BD=CD（三线合一），</p><p>∴∠ADB=90°，</p><p>∴?AFBD是矩形．</p><p>点评： 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．</p>
页:
[1]