问题的提出与解决，是数学发展的源泉
<p>有些朋友说，学数学最重要的是方法，做题并不重要，我认为不做大量的题怎么能学到方法呢?从数学历史来看，数学理论的发展几乎都源起于想解决一些特殊的问题。2023年，德国大数学家 D. Hilbert在巴黎举行的国际数学会议上，发表了〈数学问题〉的专题演讲，其前文的前半段就阐明了这个观点：</p><p>谁不愿意将未来的面纱揭去，看一眼科学下一步的进步及进展的秘密?下几代的主要数学精神追求的是那些特别的目标?在未来的世纪中，数学这个宽广丰盛的领域又会产生那些新的方法以及新的结果?</p><p>回顾历史就知科学发展是连续的。每一时代自有其待解的问题;这些问题到了下一代或许解决了，或者因解之徒劳无益，搁置一旁，而代之以新的问题。想要预知近期数学发展的梗概，我们就得注意那些发生在今日而期待在未来可解的问题。在此世纪接替之际，纵谈数学的问题，自有其意义，因为此时我们不但要回顾过去伟大的成就，同时也要将我们的思索导向未来的发展。</p><p>许多问题在数学一般的发展上，或对某些研究者而言，具有极高的价值，这一事实殆无疑问。只要具有众多的问题，一门科学就充满了活力;问题短缺会使之趋于消失或失去独立发展。就像一般的事业必须追求特定目标，数学研究需要的是问题。研究者以问题的解决衡量及锻练其能力;他发现新方法，发展新观点，使他的视野更宽广、更自由。</p><p>事先准确判断一个问题的价值是很困难的，甚至是不可能的;价值的判断要取决于这个问题所带给科学的进展。然而我们想知道是否有一般的标准来评判一个数学问题的好坏。一位法国老数学家说：「如果你无法将一个数学理论弄清楚到可以解释给街上任何一个人听，那么这个数学理论就不算完成。」对一数学理论如此清楚、易于了解的要求，我想更应加诸于所谓好的数学问题;清楚、易于了解使人向往，复杂使人排斥。</p><p>更有进者，一个数学问题要难得吸引人，但也不能难到无从下手。它必须是真理谜阵中的指标，及成功解答后喜悦的回味品。</p><p>过去的数学家都热忱地投入解决某些特定的难题。他们深知难题的价值。想想 John Bernoulli 提出的「最速下降曲线」这个问题就好。Bernoulli 在公开提出这个问题时说：由经验得知，使伟大人物得以促进科学进步的动力，也不过是在他们面前摆着又难同时又有用的问题。所以为了赢得数学界的感谢，他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先贤，在许多伟大的分析学家面前，提出他想到的问题，以作为他们的方法，他们的能力的试金石。变分法 就因 Bernoulli 的问题及其它的类似问题而产生了。</p><p>大家都知道，Fermat 认定</p><p>x^n + y^n = z^n</p><p>这样的方程式没有正整数解(n>2)。寻求解答这样一个特殊的、看起来不重要的问题，居然会对数学发展深具启发性，这是问题之有用的显著例证。 Kummer 为了解决 Fermat 问题，引进了理想数，发现它们在圆分体中具有唯一分解成质因子乘积的性质。Dedekind 及 Kronecker 将之推广到一般代数体，使之成为现代数论的中心论题，而其意义更远超出数论范围，进入代数及函数论的领域中。</p><p>再提一个相当不同的领域，三体问题。Poincar谷 所带给天体力学的丰富方法及深远原理，就起因于重新研究三体问题这个难题，以便寻求更近似的解答。</p><p>Fermat 及三体是两个极端类型的问题。前者是纯理论的产物，属于抽象的数论，后者因天文需要而生，是了解自然界最基本现象的要素。还有，同一个题目也时常引起在极端不同的数学领域中有所应用。譬如，最短曲线问题在几何基础、曲线曲面论、力学以及变分法各方面，都扮演了极重要的角色。F. Klein 在二十面体方面的研究，其在初等几何中多面体问题、在群论、在方程式论以及在线性微分方程所具有的影响，更强烈支持这种观点。</p><p>为了强调问题的重要性，我可以再提到 Weierstrass。他说，他在科学研究生涯之初，能够遇到像 Jacobi 反转这样重要的问题，实在幸运之至。</p><p>说了问题在数学研究的重要性，我们再来探讨问题的来源。当然每一数学分支中的最老问题都来自经验与自然现象。甚至连数字计算法则在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩从经验学得这些法则一样。古时传下来的几何问题，像是倍立方、圆化方，也是一样。还有数字方程式论、曲线论、变分法、Fourier 分析以及势能论也是一样，更不用说那些属于力学、天文及物理的问题。</p><p>但要使一门数学再往前进展，就得靠人类的思索促使其成为一门独立的学问。一门学问经由逻辑整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各种想法及新而有用的问题等等，不必有外在因素的具体影响，一样可以自我增殖。质数理论及数论的其它问题、Galois 的方程式论、代数不变量论、Abel 及自我同构函数论——事实上，几乎所有的现代数论及函数论的好问题都是这样产生的。</p><p>而当纯理论创造能力发挥之际，外在世界还是发生作用，使我们由实际经验得到新问题，使我们面对新的数学领域。而在用纯理论开展这些新领域时，我们曾找到那些古老未解问题的答案，使古老的理论有所进展。在我看来，数学家在各种领域中观察问题，提供方法与想法中，所得那么多而惊人的类同与和谐，其原因都是来自这种理论与经验经常的交互作用。</p><p>在探讨了问题之对数学的重要性及数学问题的来源后，Hilbert 又谈到如何判定一个数学问题是否得解，然后结束前文。接着 Hilbert 花了很多的时间谈论二十三个他认为对今后数学发展曾有重大影响的数学问题。这就是所谓的「Hilbert 数学问题」，它们的确是好问题，的确在二十世纪的数学发展史上扮演了非常重要的角色。</p><p>这二十三个问题是：</p><p>一、 Cantor 连续体的基数问题，</p><p>二、 算术公理的无矛盾性，</p><p>三、 等底等高两四面体的等积性，</p><p>四、 两点间最短路程做为直线的问题，</p><p>五、 连续群的定义函数除去可微性的问题(Lie 原来的观念)，</p><p>六、 物理学公理化，</p><p>七、 某些数的无理数性及超越性，</p><p>八、 质数问题，</p><p>九、 任何代数体中最一般的互逆法则，</p><p>十、 决定 Diophantine 方程式的可解性，</p><p>十一、 系数为代数数的二次式，</p><p>十二、 推广 Kronecker 的 Abel 扩张定理到任何代数体上，</p><p>十三、 七次方程式不能用两变量函数来解，</p><p>十四、 某些完备函数的有限性，</p><p>十五、 Schubert 算法的严密基础，</p><p>十六、 代数曲线与曲面的拓朴，</p><p>十七、 正定型的平方和表现，</p><p>十八、 以全等多面体铺成空间的问题，</p><p>十九、 正则变分问题的解都是解析的?</p><p>二十、 一般的边界值问题，</p><p>二十一、 给定 Monodromy 群，线性微分方程式的存在问题，</p><p>二十二、 以自我同构函数做解析关系的一致化，</p><p>二十三、 变分法的进一步开展。</p><p>问题固然是数学活动的泉源，Hilbert 的数学问题固然证明了这个观点，但并不是每一个问题都能激起有意义的数学研究。法国数学家 J. Dieudonn谷 在其著作《A Panorama of Pure Mathematics》中，把数学问题就其对数学发展的影响分成几类。</p><p>一、死产了的问题：问题本身未得解决，试求解决的过程对数学的发展也未产生帮助。譬如 Fermat 质数问题：除 n=0,1,2,3,4 外，2^2n+1 还可能是质数吗?</p><p>及 Euler 常数的无理数性问。</p><p>二、无意义的问题：问题虽然解决了，但对其他问题的进展毫无影响。许多排列组合的问题属于此类。</p><p>三、产生方法的问题：用来解决问题的方法或其变形可以解决许多类似或更复杂的问题，虽然我们不一定了解这些方法所以能够解题的关键。解析数论及有限群论就有许多这样的例子。</p><p>四、活跃领域中的问题：问题的研究终究能够找出意想不到的背后基本结构，不但解决原来问题，而且提供普遍性的方法，以阐明其它领域中的许许多多问题。譬如，李群与代数拓朴是目前的典型例子。</p><p>五、衰退领域中的问题： Hilbert 也说过，如果没有不断的新问题的刺激，一个数学理论不可能活跃。一旦一个数学理论中的大问题已经解决，与其它数学领域的关系也弄清楚后，研究者就会钻起牛角尖来。不变量理论就曾有几次演变成这种阶段。</p><p>六、稀释领域中的问题：选对了公理的系统可以导出很好的理论与技巧。一个公理系统的成功常使研究者漫无目的变更公理，以期再造佳绩;当然，这种期望往往落空。(这类研究者往往举不出研究对象的应用实例，所以 Dieudonn谷 幽默地说他也不举出这一类型的例子。)</p><p>当然第四类问题最重要，其次才是第三类问题。其它类的问题就数学发展而言都是毫不足道的。问题是数学活动的泉源，如何选择有意义的研究问题，Hilbert 给了典范，Dieudonn谷 提出了判断标准。</p>
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