几个抽象函数问题的探究
<p>解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高.所以近几年来高考题中不断出现，在2023年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花.但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心.下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法.</p><p>一、抽象函数的定义域</p><p>例1已知函数f(x)的定义域为，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域.</p><p>解析：由由a>0 知只有当0</p><p>点评：1。已知f(x)的定义域为，则f的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;</p><p>2。已知f的定义域为，则f(x)的定义域即是g(x)在x 上的值域。</p><p>二、抽象函数的值域</p><p>解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定.</p><p>例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域.</p><p>解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1].</p><p>三、抽象函数的奇偶性</p><p>例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2023)=?</p><p>解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么?};因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么?};因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2023)</p><p>四、抽象函数的对称性</p><p>例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为( )</p><p>A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定</p><p>解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，</p><p>∴y=/2也是奇函数，∴/2+/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故选A .</p><p>五、抽象函数的周期性</p><p>例5、(2023全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )</p><p>(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数</p><p>(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数</p><p>解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，</p><p>函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数。，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数.故选D</p><p>关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了.</p><p>定理1。若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)=f (x-b)，则y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数.</p><p>定理2。若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)= -f (x-b)，则y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数.</p><p>定理3。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b (a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数.</p><p>et 定理4。若函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数.</p><p>定理5。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数.</p><p>性质1：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a-b);</p><p>性质2：若函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a-b)。</p><p>特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a。</p><p>性质3：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a-b)。</p><p>特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a.</p><p>从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高.但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。</p>
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