2023年北师大版数学期中考复习知识点
<p>一. 不等关系</p><p>※1. 一般地，用符号“<”(或“≤”)， “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.</p><p>※2. 准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.</p><p>非负数：大于等于0(≥0) 、0和正数、不小于0</p><p>非正数：小于等于0(≤0) 、0和负数、不大于0</p><p>二. 不等式的基本性质</p><p>※1. 掌握不等式的基本性质，并会灵活运用：</p><p>(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，</p><p>即：如果a>b，那么a+c>b+c， a-c>b-c.</p><p>(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，</p><p>即如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， .</p><p>(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，</p><p>即：如果a>b，并且c<0，那么ac<bc，< p=""> </bc，<></p><p>※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)</p><p>一般地：</p><p>如果a>b，那么a-b是正数;反过来，如果a-b是正数，那么a>b;</p><p>如果a=b，那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0，那么a=b;</p><p>如果a<b，那么a-b是负数;反过来，如果a-b是正数，那么a<b;< p=""> </b，那么a-b是负数;反过来，如果a-b是正数，那么a<b;<></p><p>即：</p><p>a>b，则a-b>0</p><p>a=b，则a-b=0</p><p>a<b，则a-b<0< p=""> </b，则a-b<0<></p><p>(由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.</p><p>三. 不等式的解集：</p><p>※1. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解;一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程，叫做解不等式.</p><p>※2. 不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数.</p><p>※3. 不等式的解集在数轴上的表示：</p><p>用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：</p><p>①定点：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈;</p><p>②方向：大向右，小向左</p><p>四. 一元一次不等式：</p><p>※1. 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.</p><p>※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向.</p><p>※3. 解一元一次不等式的步骤：</p><p>①去分母;</p><p>②去括号;</p><p>③移项;</p><p>④合并同类项;</p><p>⑤系数化为1(注意不等号方向改变的问题)</p><p>※4. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)</p><p>列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：</p><p>①审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;</p><p>②设：设出适当的未知数;</p><p>③列：根据题中的不等关系，列出不等式;</p><p>④解：解出所列的不等式的解集;</p><p>⑤答：写出答案，并检验答案是否符合题意.</p><p>五. 一元一次不等式与一次函数</p><p>六. 一元一次不等式组</p><p>※1. 定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.</p><p>※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.</p><p>如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.</p><p>几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.</p><p>※3. 解一元一次不等式组的步骤：</p><p>(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;</p><p>(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，</p><p>(3)写出这个不等式组的解集.</p><p>两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数，且a<b)< p=""> </b)<></p><p>(同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小无解)</p><p>第二章 分解因式</p><p>一. 分解因式</p><p>※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.</p><p>※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.</p><p>因式分解与整式乘法的区别和联系：</p><p>(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式;</p><p>(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.</p><p>二. 提公共因式法</p><p>※1. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.</p><p>※2. 概念内涵：</p><p>(1)因式分解的最后结果应当是“积”;</p><p>(2)公因式可能是单项式，也可能是多项式;</p><p>(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，a•b +a•c=a•(b+c)</p><p>※3. 易错点点评：</p><p>(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;</p><p>(2)公因式是否提彻底;</p><p>(3)多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉.</p><p>三. 运用公式法</p><p>※1. 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.</p><p>※2. 主要公式：</p><p>(1)平方差公式：</p><p>①应是二项式或视作二项式的多项式;</p><p>②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;</p><p>③二项是异号.</p><p>(2)完全平方公式：</p><p>①应是三项式;</p><p>②其中两项同号，且各为一整式的平方;</p><p>③还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.</p><p>※5. 因式分解的思路与解题步骤：</p><p>(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式;</p><p>(2)再看能否使用公式法;</p><p>(3)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积;</p><p>(4)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.</p><p>第三章 分式</p><p>一. 分式</p><p>※1. 两个整数不能整除时，出现了分数;类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式.</p><p>整式A除以整式B，可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母，那么称 为分式，对于任意一个分式，分母都不能为零.</p><p>※2. 进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质：</p><p>分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.</p><p>※3. 一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去，这叫做约分.</p><p>※4. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.</p><p>二. 分式的乘除法法则</p><p>两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘(简记为：除以一个数等于乘以这个数的倒数)</p><p>三. 分式的加减法</p><p>※1. 分式与分数类似，也可以通分.</p><p>根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.</p><p>※2. 分式的加减法：</p><p>分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.</p><p>(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;</p><p>(2)异号分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减;</p><p>※3. 概念内涵：</p><p>通分的关键是确定最简分母，其方法如下：</p><p>(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数;</p><p>(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，</p><p>(3)如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解.</p><p>四. 分式方程</p><p>※1. 解分式方程的一般步骤：</p><p>①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程;</p><p>②解这个整式方程;</p><p>③把整式方程的根代入原方程检验.</p><p>※2. 列分式方程解应用题的一般步骤：</p><p>①审清题意;</p><p>②设未知数;</p><p>③根据题意找相等关系，列出(分式)方程;</p><p>④解方程，并验根;</p>
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