高考数学知识点汇总—函数的奇偶性与周期性
<p>高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性</p><p>知识要点：</p><p>一、函数的奇偶性</p><p>1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;</p><p>对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;</p><p>2.性质：</p><p>(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;</p><p>(2) f(x),g(x)的定义域为D;</p><p>(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;</p><p>(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;</p><p>(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-为偶函数，h(x)=-为奇函数;</p><p>(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。</p><p>3.判断方法：</p><p>(1)定义法</p><p>(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;</p><p>f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。</p><p>4.拓展延伸：</p><p>(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;</p><p>(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。</p><p>二、周期性：</p><p>1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。</p><p>2.图象特点：</p><p>将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。</p><p>3.函数图象的对称性与周期性的关系：</p><p>(1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)</p><p>(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)</p><p>(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|)</p><p>典型例题</p><p>例1：判断下列函数的奇偶性：</p><p>(1)f(x)=(x-1)■</p><p>解：函数的定义域为x{x|-11}</p><p>函数f(x)=(x-1)■为f(x)非奇非偶函数</p><p>(2) f(x)=loga(-x+-)</p><p>解：xR</p><p>f(-x)=loga(x+-</p><p>=loga-</p><p>=-loga(-x+-)=-f(x)</p><p>f(x)为奇函数</p><p>(3)f(x)=x(-+-)</p><p>解：x{xR|x0}</p><p>f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)</p><p>=-x(-+-+1)=0</p><p>f(x)为偶函数</p><p>(4)f(x)=-</p><p>解：1+cosx+sinx0</p><p>sin(x+-)--，x{x|x2k-且x2k--，kR}</p><p>定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数</p><p>说明：</p><p>1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。</p><p>2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)f(x)=0</p><p>例2：(1)已知：f(x)是奇函数，且x0时f(x)=x|x-2|</p><p>求x0的解析式</p><p>解：设x0,则-x0</p><p>-，</p><p>说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。</p><p>2.转化带入利用定义构造方程。</p><p>(2)定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x)，若x(0,3),f(x)=2x</p><p>求：当x(-6,-3)时，f(x)的解析式。</p><p>解：x(-6,-3) -x(3,6),6-(-x)(0,3)</p><p>-</p><p>f(x)=-2x+6</p><p>说明：1.合理分解题意是关键。</p><p>2.此题还可以应用周期性进行求解。</p><p>例3：已知：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)</p><p>(1)求证：f(x)为周期函数;</p><p>(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。</p><p>(1)解：-</p><p>f(x)=f(x+4)</p><p>f(x)为周期是4的周期函数。</p><p>(2)解：x[-1,0],-x</p><p>-</p><p>f(x)=-x,x[-1,0]</p><p>f(x)=-x,x[-1,1]</p><p>x(1,3),-1</p><p>-</p><p>f(x)=--(x-2),x</p><p>-</p><p>x[-1,3),f(x)=--,x=-1</p><p>x=4n-1,nZ</p>
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