设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT
<p>问题：设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">戴金来的回答：<div class="content-b">网友采纳 f(x)=e^x+sinx-∫(x-t)f(t)dt =e^x+sinx-x∫f(t)dt+∫tf(t)dt 求导得： f'(x)=e^x+cosx-∫f(t)dt-xf(x)+xf(x) =e^x+cosx-∫f(t)dt(1) 两边再求导得： f''(x)=e^x-sinx-f(x) 得微分方程：f''(x)+f(x)=e^x-sinx 将x=0代入原方程得：f(0)=1 将x=0代入(1)得：f'(0)=2 下面求解初值问题： f''(x)+f(x)=e^x-sinx f(0)=1 f'(0)=2 特征方程：λ²+1=0,解得λ=±i 齐次方程通解为：C1cosx+C2sinx 构造非齐次方程特解为：y*=ae^x+bx*cosx+cx*sinx 代入微分方程比较系数得特解为：y*=(1/2)e^x+(1/2)xcosx 非齐次方程通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx 将两个初始条件代入得：C1=1/2,C2=1 因此本题结果为：f(x)=(1/2)cosx+sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx 【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
页:
[1]