已知抛物线方程y=-amp;frac12;x方+h,点A,B,P(2,4)都是抛物线点,直线PA,PB的倾斜角互补.（1）求证：直线AB的斜率为定值（2）当直线AB的纵截距大于零时,求△PAB面积的最大值回答对了还有加分,重重有赏
<p>问题：已知抛物线方程y=-amp;frac12;x方+h,点A,B,P(2,4)都是抛物线点,直线PA,PB的倾斜角互补.（1）求证：直线AB的斜率为定值（2）当直线AB的纵截距大于零时,求△PAB面积的最大值回答对了还有加分,重重有赏<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">杜欣的回答：<div class="content-b">网友采纳 【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x²+h上,∴4=（-1/2）×2²+h.. ∴h=6. ∴抛物线y=(-1/2)x²+6. ②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a²),B(2b,6-2b²).(a≠b). ③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-β ∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ. ∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0. 又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a²)/(2a-2)=－(a+1). Kpb=(2-2b²)/(2b-2)=－(b+1). ∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0.∴a+b=-2. ④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a²)-(6-2b²)]/(2a-2b)=(b²-a²)/(a-b)=-(a+b)=2. ∴直线AB的斜率恒为定值2. ①∵直线AB的斜率为2,故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t. 又直线AB的纵截距为正,∴t＞0. 联立抛物线方程y=(-1/2)x²+6与直线方程y=2x+t.,整理可得： x²+4x+2(t-6)=0. ∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t)＞0.∴0＜t＜8. ②由“圆锥曲线弦长公式”可知,弦|AB|=√. 再由“点到直线的距离公式”可知,点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为： d=t/(√5). ∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2)×|AB|×d=(1/2)×√×t/(√5). =√=√. ③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值. 求导可得f′(t)=-3t²+16t.=-t(3t-16). 易知,在区间(0,8)上,当0＜t＜16/3时,有f′(t)＞0. 当16/3＜t＜8时,有f′(t)＜0. ∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知, 函数f(t)在t=16/3时取得最大值.∴当t=16/3时,⊿PAB的面积最大. ④当t=16/3时,由S=√可得：S=(64√3)/9. 即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.
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