设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
<p>问题：设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">胡良梅的回答：<div class="content-b">网友采纳 由于f(x)连续,则∫(0,x)tf(x-t)dt可导, 由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导 换元,令x-t=u,则dt=-du,u：x→0 f(x)=e^x-∫(x-u)f(u)du =e^x+∫(x-u)f(u)du =e^x+x∫f(u)du-∫uf(u)du 两边求导得 f'(x)=e^x+∫f(u)du+xf(x)-xf(x) =e^x+∫f(u)du(1) 由∫f(u)du可导得：f'(x)可导 (1)两边再求导得：f''(x)=e^x+f(x)二阶常系数非齐次线性微分方程 将x=0代入原式得：f(0)=1 将x=0代入(1)得：f'(0)=1 这样问题转化为求解微分方程初值问题 f''(x)-f(x)=e^x f(0)=1 f'(0)=1 特征方程为：r²-1=0,解得r=±1 因此齐次方程通解为：C1e^x+C2e^(-x) 设方程特解为：y*=axe^x 代入微分方程解得：a=1/2 因此微分方程通解为：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x 将初始条件f(0)=1,f'(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
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