【y#39;#39;+4y#39;+3y=e^-t,用拉氏变换求常微分方程,y（0）=y#39;(0)=1】
<p>问题：【y#39;#39;+4y#39;+3y=e^-t,用拉氏变换求常微分方程,y（0）=y#39;(0)=1】<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">何东风的回答：<div class="content-b">网友采纳 此题可以不用拉氏变换求解! ∵齐次方程y''+4y'+3y=0的特征方程是r²+4r+3=0 ==>r1=-1,r2=-3 ∴此齐次方程的通解是y=C1e^(-t)+C2e^(-3t)(C1,C2是积分常数) 设原方程的特解是y=Ate^(-t) ==>y'=Ae^(-t)-Ate^(-t),y''=Ate^(-t)-2Ae^(-t) 代入原方程得Ate^(-t)-2Ae^(-t)+4+3Ate^(-t)=e^(-t) ==>2Ae^(-t)=e^(-t) ==>A=1/2 即原方程的特解是y=te^(-t)/2 故原方程的通解是y=C1e^(-t)+C2e^(-3t)+te^(-t)/2(C1,C2是积分常数). ∵y(0）=y'(0)=1 y'=-C1e^(-t)-3C2e^(-3t)+e^(-t)/2-te^(-t)/2 ==>C1+C2=-C1-3C2+1/2=1 ==>C1=7/4,C2=-3/4 ∴原方程满足条件y(0)=y'(0)=1的解是y=7e^(-t)/4-3e^(-3t)/4+te^(-t)/2.
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