【偏微分方程∂^2*u/∂x^2+∂^2*u/∂y^2=2(x^2+y^2)的数值解法..定解条件u（0，y）=u（x，0）=0；u（1，y）=y^2;u(x,1)=x^2；我知道精确解是u(x,y)=(xy)^2。。。但是我想知道该方程的数值解法，和迭代方法】
<p>问题：【偏微分方程∂^2*u/∂x^2+∂^2*u/∂y^2=2(x^2+y^2)的数值解法..定解条件u（0，y）=u（x，0）=0；u（1，y）=y^2;u(x,1)=x^2；我知道精确解是u(x,y)=(xy)^2。。。但是我想知道该方程的数值解法，和迭代方法】<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">李训涛的回答：<div class="content-b">网友采纳 源程序： function=Helmholtz(f,g,bx0,bxf,by0,byf,D,Mx,My,MinErr,MaxIter) %解方程：u_xx+u_yy+g(x,y)u=f(x,y) %自变量取值区域D=={(x,y)|x0<=x<=xf,y0<=y<=yf} %边界条件 %u(x0,y)=bx0(y),u(xf,y)=bxf(y) %u(x,y0)=by0(x),u(x,yf)=byf(x) %x轴均分为Mx段 %y轴均分为My段 %tol误差因子 %MaxIter:最大迭代次数 %:方程u(x，y)在(x,y)点的函数值 x0=D(1);xf=D(2);y0=D(3);yf=D(4); dx=(xf-x0)/Mx;x=x0+*dx;%构造内点数组 dy=(yf-y0)/My;y=y0+'*dy; Mx1=Mx+1;My1=My+1; %边界条件 form=1:My1 u(,m)=;%左右边界 end forn=1:Mx1 u(n,)=;%上下边界 end %边界平均值作迭代初值 sum_of_bv=sum(sum(,2:My)u(2:Mx,)'])); u(2:Mx,2:My)=sum_of_bv/(2*(Mx+My-2)); fori=1:Mx forj=1:My F(i,j)=f(x(i),y(j));G(i,j)=g(x(i),y(j)); end end dx2=dx*dx;dy2=dy*dy;dxy2=2*(dx2+dy2); rx=dx2/dxy2;ry=dy2/dxy2;rxy=rx*dy2; foritr=1:MaxIter fori=2:Mx forj=2:My u(i,j)=ry*(u(i+1,j)+u(i-1,j))+rx*(u(i,j+1)+u(i,j-1))+rxy*(G(i,j)*u(i,j)-F(i,j));%迭代公式 end end ifitr>1&max(max(abs(u-u0)))<MinErr%循环结束条件 break; end u0=u; end u=u'; 在MATLAB中编写脚本文件： f=inline('2*x^2+2*y^2','x','y'); g=inline('0','x','y'); x0=0;xf=1;y0=0;yf=1;%自变量取值范围 Mx=50;My=30;%等分段数 bx0=inline('0','y');%边界条件 bxf=inline('y^2','y'); by0=inline('0','x'); byf=inline('x^2','x'); D=;MaxIter=100;MinErr=1e-4; =Helmholtz(f,g,bx0,bxf,by0,byf,D,Mx,My,MinErr,MaxIter); clf,mesh(U) xlabel('x') ylabel('y') zlabel('U')
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