如图，在△ABC中，∠C=45amp;deg;，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值
<p>问题：如图，在△ABC中，∠C=45amp;deg;，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">林笠的回答：<div class="content-b">网友采纳 分析： （1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；所以本题要分三种情况讨论：①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式． （1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP∴△AEF∽△ABC又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF；∴=；（2）由（1）得=，∴AH=x∴EQ=HD=AD-AH=8-x∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x2+8x=-（x-5）2+20∵-＜0，∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；（3）如图1，由（2）得EF=5，EQ=4∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9分三种情况讨论：①如图2，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形；∴FN=MF=t∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20②如图3当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，∴S=S梯形EMCQ=[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28③如图4当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t∴S=S△KQC=（9-t）2=（t-9）2综上所述：S与t的函数关系式为：S=． 点评： 此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想．
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