【一道高数题,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,证明至少存在一点ε∈(a,b),使得f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)={f#39;#39;(ε)*[(b-a)^2]}/4】
<p>问题：【一道高数题,设f(x)在上连续,在(a,b)内二阶可导,证明至少存在一点ε∈(a,b),使得f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)={f#39;#39;(ε)*[(b-a)^2]}/4】<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">孙素芬的回答：<div class="content-b">网友采纳 这种经典难题啊阁下估计也没什么分10分就10分吧 这种题难就难在那个辅助函数的构造.辅助函数构造对了,证明也就简单了. 首先： f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a) =f(b)-f[(a+b)/2]--f(a)]---------------C 变换技巧就在于： b=(a+b)/2+(b-a)/2-----------------A (a+b)/2=a+(b-a)/2-----------------B 将A,B带入C得： f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a) =f((a+b)/2+(b-a)/2)-f[(a+b)/2]--f(a)] 这时即可构造关键的辅助函数可令： g(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x) 容易看出： f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a) =g((a+b)/2)-g(a) 下面再运用两次Lagrange中值定理即可解决： f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a) =g((a+b)/2)-g(a) =g'(ε1)*[(a+b)/2-a] =g'(ε1)*(b-a)/2----------------------D 其中a
页:
[1]