初中数学难题系列7(不定方程整数根）1.求下列方程的整数解（1）2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0（2）x^4-y^4-20x^2+28y^2=2023.求证：方程5m^2-6mn+7n^2=2023无整数解3.设有红黄蓝三种颜色的玻璃片,分别有x,y,z块,且x,
<p>问题：初中数学难题系列7(不定方程整数根）1.求下列方程的整数解（1）2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0（2）x^4-y^4-20x^2+28y^2=2023.求证：方程5m^2-6mn+7n^2=2023无整数解3.设有红黄蓝三种颜色的玻璃片,分别有x,y,z块,且x,<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">冯季昉的回答：<div class="content-b">网友采纳 第一题： (1)2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0=>(x-2y)(2x-y+1)=6 因为x、y都是整数,所以x-2y、2x-y+1也是整数.而6的整数乘积分解只能是(-6)×(-1)、(-1)×(-6)、(-3)×(-2)、(-2)×(-3)、1×6、6×1、2×3、3×2这8种可能 联立解方程,舍去非整数解,得如下4组x=-1,y=1；x=-2,y=0；x=3,y=1；x=-2,y=-4 (2)x^4-y^4-20x^2+28y^2=107=>(x^2+y^2-24)(x^2-y^2+4)=11 因为x、y都是整数,所以x^2+y^2-24、x^2-y^2+4也是整数.而11的整数乘积分解只能是(-11)×(-1)、(-1)×(-11)、1×11,11×1这4种可能 联立解方程,舍去非整数解,得如下8组x=-2,y=-3；x=-2,y=3；x=2,y=-3；x=2,y=3；x=-4,y=-3；x=-4,y=3；x=4,y=-3；x=4,y=3 第二题： 先使用余数分析的方法确定m可能的取值 1)首先m不能是偶数.因为如果m是偶数,那么(5m^2)mod4=0（mod4表示除以4的余数）,(-6mn)mod4=0,1993mod4=1,于是(7n^2)mod4=1,这样n是奇数,而如果n是奇数,(7n^2)mod4=3,矛盾 2)其次m必然能整除3.假设m不能整除3,那么m=3x+1或者m=3x+2,无论是那种情况,都有(5m^2)mod3=2,(-6mn)mod3=0,1993mod3=1,于是(7n^2)mod3=2,这样n不能整除3,无论是n=3y+1还是n=3y+2,(7n^2)mod3=1,矛盾 3)根据1)和2)的结论,可知m=6x+3 其次枚举证明没有整数解 4)将5m^2-6mn+7n^2=1993看作n的二次方程,解得n=/7或者n=/7.由于13951-26m^2>=0可知|m|->->,至此循环,不存在有两个余数同时为0的情况,而每块玻璃片都涂上同一种颜色就意味着有两个余数为0,所以这是不可能的
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