设函数f（x），g（x）在[a，b]上内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ
<p>问题：设函数f（x），g（x）在上内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">冯珍的回答：<div class="content-b">网友采纳 证明：（I）由f（x），g（x）在（a，b）内存在相等的最大值， ①若在某点c∈（a，b）同时取得最大值，则f（c）=g（c），此时的c就是所求点，即存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）； ②若两个函数取得最大值的点不同，设f（c）=maxf（x），g（d）=maxg（x），f（c）=g（d）． 则有f（c）-g（c）＞0，g（d）-f（d）＜0， 因此函数F（x）=f（x）-g（x）在或上满足零点定理的条件， 故在（c，d）或（d，c）内肯定存在η，使得f（η）=g（η） 综合①②，存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η） （II）由（1）和洛尔定理在区间（a，η），（η，b）内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2}，使得 f（ξ1）=0，f′（ξ2）=0 在区间（ξ1，ξ2）内对函数F（x）=f（x）-g（x）用洛尔定理，即 ∃ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（a，b），F''（ξ）=f''（ξ）-g''（ξ）=0 即∃ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．
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