设R为交换环（不一定有乘法单位元）,若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环
<p>问题：设R为交换环（不一定有乘法单位元）,若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">李敬民的回答：<div class="content-b">网友采纳 用反证法,假设R是无限环,但存在并只有有限个零因子. 设a是R中一个零因子,则有a≠0,并存在b≠0使ab=0. 考虑映射φ:R→R,φ(x)=xa,可知φ是R作为加法群到自身的同态. 易见,ker(φ)中的非零元都是零因子,因此ker(φ)是有限群. 而R是无限群,由同态基本定理,im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集. 即当x取遍R中的元素,xa有无限种不同的取值. 但(xa)b=x(ab)=0,可知xa的非零取值都是R中的零因子. 于是R中有无限个零因子,矛盾. 因此题目所述的环只能为有限环.
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