怎样用积分计算椭圆面积?
<p>问题：怎样用积分计算椭圆面积?<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">马瑞晓的回答：<div class="content-b">网友采纳 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).c1c2clone依据某定理,定理内容如下：如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k,那么甲面积是乙面积的k倍.那么x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的面积为π*a^2*b/a=πab因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以为4个相等的部分,分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积.拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分的面积.根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限.现在应用元素法,在图形中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s,显然,s=y*dx现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=∫ydx意思是求0到a上y关于x的定积分步骤：（第一象限全取正,后面不做说明）S=∫ydx=∫|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx设x^2/a^2=sin^2t则∫|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫b*costd(a*sint)pi=圆周率∫b*costd(a*sint)=∫b*a*cos^2tdtcos^2t=1-sin^2t∫b*a*cos^2tdt=(0:pi/2)-∫b*a*sin^2tdt这里需要用到一个公式：∫f(sinx)dx=∫f(cosx)dx证明如下sinx=cos(pi/2-x)设u=pi/2-x则∫f(sinx)dx=∫f(cosu)d(pi/2-u)=-∫f(sinu)d(pi/2-u)=∫f(sinu)du=∫f(sinx)dx则∫b*a*cos^2tdt=(0:pi/2)-∫b*a*sin^2tdt=a*b*（pi/2）-∫b*a*cos^2tdt那么2*∫b*a*cos^2tdt=a*b*（pi/2)则S=a*b*(pi/4)椭圆面积S_c=a*b*pi可见椭圆面积与坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
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