（2023•濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这
<p>问题：（2023•濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">马宏波的回答：<div class="content-b">网友采纳 （1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x-16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式； （2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式； （3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值； （4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标． 【解析】 （1）∵当x=0和x=4时，y的值相等， ∴c=16a+4b+c，（1分） ∴b=-4a， ∴x=-=-=2 将x=3代入y=4x-16，得y=-4， 将x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分） ∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-8 将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8， 解得a=4． ∴抛物线y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8．（3分） （2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4， ∴y=-4x．（4分） 则点P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t． S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t（5分） t的取值范围为：0＜t≤2（6分） （3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值． 从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大， 即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分） 此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分） 因而S=×2×8+×2×8=16． 当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四边形PQCO是平行四边形．（9分） （4）随着点P的运动，存在t=，能满足PO=OC（10分） 设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t． 由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2． ∵PO=OC， ∴17t2=82，t1=＜2，t2=-（不合题意） ∴当t=时，PO=OC．（11分）
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